不等式与函数【例1】已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；(2)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．【解析】(1)证明：由条件当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x＝0得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)因为a>0，g(x)在[－1,1]上是增函数，当x＝1时取得最大值2，即g(1)＝a＋b＝f(1)－f(0)＝2.①因为－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，所以c＝f(0)＝－1.因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x＝0为f(x)的图象的对称轴，由此得－b2a＝0，即b＝0.由①得a＝2，所以f(x)＝2x2－1.本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局．【变式练习1】要使满足关于x的不等式2x2－9x＋a<0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x2－4x＋3<0和x2－6x＋8<0中的一个，求实数a的取值范围．【解析】因为不等式x2－4x＋3<0的解集为A＝{x|10f1＝a－7≥0f4＝a－4≥0，解得7≤a≤818.所以实数a的取值范围是[7，818]．不等式与方程【例2】已知关于x的方程x2－ax－2＝0的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2＋lm＋1≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]及l∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．121222121212212212222||48.[1,1]||8[223]1||[1,1][1,1]13[1,1]20[1,1]xxaxxxxxxxxaaxxamlmxxalmlmlmlml由题意有＋＝，＝－，所以－＝＝因为－，所以－＝，．要使不等式＋＋－对任意－及－恒成立，当且仅当＋＋对任意－恒成立，即＋－对任意【解析】－恒成立．222212(2)12012022.1||[1,1][1,1](2][2)glmlmgmmgmmmmmmlmxxalm设＝＋－．由，解得－或故存在实数，使得不等式＋＋－对任意实数－及－恒成立，且的取值范围是－，－，＋．含参数的不等式在指定区间内恒成立，求参数的取值范围是不等式中常见的问题，解题过程充分体现了函数与方程的思想．通法是构造函数，利用函数的性质与图象来分析求解；巧法是分离参数，得出a>f(x)或a
