选修4－5不等式选讲选修4－5不等式选讲考点串串讲1．含绝对值的不等式(1)绝对值的定义：若x∈R则|x|＝xx＞0，0x＝0，－xx＜0.(2)几何意义：|x|指数轴上坐标为x的点到原点的距离．(3)绝对值的运算性质：①|a·b|＝|a|·|b|；②|ab|＝|a||b|(b≠0)；③|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当(a＋b)·b≤0时，左边取“＝”，当且仅当ab≥0时，右边取“＝”)；④|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|(当且仅当ab≤0时，右边取“＝”，当且仅当(a－b)·b≥0时，左边取“＝”)；⑤|a1＋a2＋a3＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|(n∈N*)．(4)若a＞0，则|x|＜a⇔－a＜x＜a；|x|＞a⇔x＞a或x＜－a.2．解含绝对值不等式的常用方法：(1)公式法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点划分区间法：用各绝对值的零点划分区间讨论，以去掉绝对值符号，然后把各段上的求解结果并起来即得原绝对值不等式的解集．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．如解不等式|x＋3|－|x－5|＜6可用此法．其中(3)(4)适用于含有多个绝对值的不等式．3．不等式的证明方法(1)比较法．①作差法：欲证A＞B，只需证A－B＞0.用作差法证明不等式的步骤为：作差变形判断符号．注意作差后，其关键在于变形，变形时，应将差式：a.变形为常数，b.变形为用非负实数(如完全平方、绝对值等)表示出来，c.变形为几个因式的积(商)的形式，总之，变形的目的要有利于符号的判定．②作商法：欲证A＞B，若B＞0，只需证AB＞1；若B＜0，只需证明AB＜1.步骤：作商变形判断商与“1”的大小．注意在比较商式与“1”的大小关系时，应注意函数(特别是指数函数)的性质(特别是单调性)的运用．(2)分析法．①方法：分析法是从需求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，通过肯定这些充分条件都已具备，从而断定原不等式成立．②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．注意用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用做为“逆推”，分析过程只需寻求充分条件即可，而不是充要条件．(3)综合法．①方法：综合法就是从已知出发，借助不等式的性质以及有关定理和重要不等式等，经过逐步地逻辑推理，最后推得待证的不等式．②特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．综合法属逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据．注意在证明时，还常要用到以下证题依据：若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0；若a，b同号，则ba＋ab≥2；柯西不等式：若a，b，x，y∈R，则(a2＋b2)·(x2＋y2)≥(ax＋by)2；平方和不等式：若a，b∈R，则a2＋b2≥12(a＋b)2；重要不等式：a，b均为正数，则a＋b2≥ab，a，b∈R，则a2＋b2≥2ab；倒数和不等式，若a，b均为正数，则(a＋b)(1a＋1b)≥4.(4)反证法．从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．注意用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的．(5)放缩法．欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A，或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法．(6)用数学归纳法证明不等式①用数学归纳法证明不等式必须严格遵循数学归纳法的基本程序“两步一结论”②由于不等式的特殊性，在n＝kn＝k＋1的过程中，假设成立的结论代入后与目标结论尚有较大差异，此时要综合运用不等式的证明方法．4．均值不等式(1)对于三个正数，同样有如下结论：①如果a，b，c都是正数，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时取等...
