抛物线抛物线考点串串讲1．抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(1)圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和到定直线l的距离之比是常数e的点的轨迹．定点F称为焦点，定直线l称为准线，根据e的取值，轨迹可分为：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．(2)定义可归结为“一动三定”，动点设为M，一个定点即为抛物线焦点，一条定直线即为抛物线的准线，一定值即离心率，也即动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为1.(3)要注意定点不在定直线上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过定点F垂直于定直线l的一条直线，比如定点F(1,0)和直线l：x＋y－1＝0，则到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，它是一条直线．2．抛物线的标准方程(1)椭圆、双曲线有对称中心，有两条对称轴，建系时自然以对称轴为坐标轴，以对称中心为坐标原点，而抛物线只有一条对称轴，只有把顶点选在坐标原点时，方程形式比较简单，所以应以顶点为原点，对称轴是坐标轴建立坐标系．(2)由于开口方向不同，因而它的标准方程有四种形式：①与x轴的正向同向，则它的标准方程为y2＝2px；②与x轴的正向反向，则它的标准方程为y2＝－2px；③与y轴的正向同向，则它的标准方程为x2＝2py；④与y轴的正向反向，则它的标准方程为x2＝－2py.反过来，要根据抛物线的标准方程判断焦点的位置，不难从几何图形的观察中掌握以下特点：在标准方程中，若一次项字母为x，则焦点在x轴上；在标准方程中，若一次项字母是y，则焦点在y轴上．一次项系数的正负确定了抛物线开口的方向，若符号为正，则开口方向向右或向上；若符号为负，则开口方向向左或向下．(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.准线方程中，等式右边是一次项系数的－14倍，例如抛物线方程x2＝ay(a≠0)，其焦点坐标为(0，a4)，准线方程为y＝－a4，与a的正负无关．(4)“p”是焦点到准线的距离，也称抛物线的焦参数，故而p的值永远大于0，而p2是抛物线顶点到焦点的距离，也是顶点到准线的距离．3.抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0x∈Ry≤0准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2焦点坐标F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)性质焦半径r＝p2＋x0r＝p2－x0r＝p2＋y0r＝p2－y0对称轴关于x轴对称关于y轴对称顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径过焦点且垂直于对称轴的弦长为2p(其中p为焦点到准线的距离)4.抛物线中常用结论和方法如图所示，抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．(1)焦半径设A点在准线上的射影为A1，设A(x1，y1)，准线方程为x＝－p2，由抛物线定义|AF|＝|AA1|＝x1＋p2.(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2；②|AB|＝2psin2θ＝x1＋x2＋p；③以AB为直径的圆与准线相切；④焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°；⑤1|FA|＋1|FB|＝2p.典例对对碰题型一求抛物线的方程例1已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程．分析虽然抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，处于标准位置，然而开口方向并不确定，因此应分类讨论．解析①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2＝－2py，准线方程为y＝p2，从抛物线定义知p2－(－3)＝5，解得p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，此时将点A(m，－3)代入方程，得m＝±26.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，由p＝|a|知准线方程可统一成x＝－a2的形式，∴有|a2＋m|＝5，2am＝9.解此方程组可得：a1＝1，m1＝92，或a2＝－1，m2＝－92，或a3＝9，m3＝12，或a4＝－9，m4＝－12.∴此时抛物线方程为：y2＝18x，m＝12或y2＝－18x，m＝－12或y2＝2x，m＝92或y2＝－2x，m＝－92.变式迁移1直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到...
