第八节基本不等式考纲点击1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.热点提示1.以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件.2.考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出以函数为载体的解答题.3.以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难．但题型多样，涉及面广.基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件1．基本不等式ab≤a＋b2a>0，b>0a＝b2.常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)(4)ba＋ab≥2(a，b同号且不为零)3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：．a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2ab4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值，那么当且仅当时，xy有值是.(简记：和定积最大)pp24x＝y最小x＝y最大1．下列结论中不正确的是()A．a>0时，a≥＋2B.≥2C．a2＋b2≥2abD．a2＋b2≥【解析】≥ 2，只有当a、b同号且不为零时成立，故≥2不一定成立．【答案】B.ba＋abba＋abba＋ab(a＋b)221a2．x>，则f(x)＝4x＋的最小值为()A．－3B．2C．5D．75414x－5【解析】 f(x)＝4x＋＝4x－5＋＋5， x>，∴4x－5>0，∴4x－5≥＋2，故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝.【答案】D14x－514x－514x－554323．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则的最小值为()A．8B．12C．20D．161a＋4b【解析】 直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴1a＋4b＝(4a＋b)1a＋4b＝4＋16ab＋ba＋4≥16，等号成立的条件是a＝18，b＝12.【答案】D4．设x，y都是正实数，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是________．【解析】 x，y都是正实数，x＋4y≥4，xy∴≤10，xy≤100，而lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，等号成立的条件是x＝20，y＝5.【答案】25．下列函数中，y的最小值为4的是________(填序号)．①y＝x＋(x>0);②y＝；③y＝ex＋4e－x;④y＝sinx＋.xy4x2(x2＋3)x2＋24sinx【解析】① x＋4x≥2x·4x＝4，等号成立的条件是x＝2，②2(x2＋3)x2＋2＝2x2＋2＋1x2＋2＝2x2＋2＋1x2＋2≥4，但等号不成立，③ex＋4e－x＝ex＋4ex≥4，等号成立的条件是x＝ln2，④当sinx>0时，sinx＋4sinx≥4，但等号不成立；当sinx<0时，sinx＋4sinx<4.【答案】①③求下列各题的最值．利用基本不等式求最值(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值．(2)x>0，求f(x)＝＋3x的最小值．(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．(4)x∈R，求f(x)＝sin2x＋1＋的最小值．【思路点拨】(1)lgx＋lgy＝1得xy＝10，故可用基本不等式．(2)由x>0，·3x＝36是常数，故可直接利用基本不等式．(3)因·f(x)＝＋x－3＋3，又x－3<0，故需变号．2x＋5y4x－312x12x4x－35sin2x＋14x－3x不是常数，故需变形．(4)虽然(sin2x＋1)·5sin2x＋1＝5(常数)，但利用基本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性．【自主探究】(1)方法一：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y＝2y＋5x10≥210xy10＝2.∴2x＋5ymin＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．方法二：由lgx＋lgy＝1，可得y＝10x. 2x＋5y＝2x＋x2≥2，∴2x＋5ymin＝2.当且仅当2x＝x2，即x＝2，y＝5时等号成立．(2) x>0，∴f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝12，等号成立的条件是12x＝3x，即x＝2，∴f(x)的最小值是12.(3) x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋(3－x)＋3≤－243－x·(3－x)＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.(4)令sin2x＋1＝t，则t∈[1,2]，故g(t)＝t＋5t.任取t1，t2∈[1,2]且t1
