第四节垂直关系考纲点击1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.热点提示1.以选择、填空的形式，考查线面垂直的判定定理和性质定理.2.解答题中，考查线面垂直关系及逻辑推理能力.3.通过考查线面角及二面角，考查空间想像能力及计算能力，常以解答题的形式出现.1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线．2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．任意一条相交平行两个半平面(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面垂直．垂直于棱直二面角垂线垂直于交线4．直线和平面所成的角平面的一条斜线和所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为.它在平面上的射影90°和0°1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，“则l⊥α”“是l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.【答案】A2．(2008年三亚模拟)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在【解析】当a与b垂直时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．∴至多有一个．【答案】B3．设平面α⊥β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b()A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图：过a上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.∴b⊥α.∴b⊥l，与已知矛盾．【答案】B4．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心．【解析】当PA＝PB＝PC时，OA＝OB＝OC，∴O为外心．当PA、PB、PC两两垂直时，AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB.∴O为垂心．【答案】外垂5．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n.②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β.③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β.④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.【答案】①④【解析】m⊥αα∥β⇒m⊥βn∥β⇒m⊥n，①为真．m⊥nm⊥α⇒n∥α或n⊂α.又α∥β，n∥α时，n可能在β内，②为假．m⊥nm∥α⇒/n⊥α，从而也就推不出n⊥β，③为假．m⊥αm∥n⇒n⊥αα∥β⇒n⊥β，④为真．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.【自主探究】如图，取PD的中点E，连接AE，NE. E、N分别为PD、PC的中点，∴EN綊12CD.又 M为AB的中点，∴AMCD.∴ENAM，∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.【思路点拨】M、N是中点，取PD中点E→MN∥AE→AE⊥面PCD→MN⊥面PCD PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形，∴AE⊥PD.又 CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.【方法点评】证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．1．如图，已知PA垂直⊙O所在的...
