一轮复习讲义一轮复习讲义双曲线1．双曲线的概念(1)第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：①当时，P点的轨迹是双曲线；②当a＝c时，P点的轨迹是；③当时，P点不存在．忆一忆知识要点双曲线焦点焦距ac两条射线要点梳理(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e>1)的动点C的轨迹叫做双曲线．忆一忆知识要点2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形要点梳理范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx准线x＝±a2cy＝±a2c离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、的关系cc2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1.双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ca＝1cosθ.2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．3．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．例1已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．双曲线的定义双曲线的定义由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点， A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴FA＋CA＝FB＋CB，∴FA－FB＝CB－CA＝122＋92－122＋(－5)2＝2，∴FA－FB＝2<14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．探究提高在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.变式训练1如图，由条件可知BC－BA＝10，解析解析且AC＝12，又在△ABC中，有BCsinA＝ABsinC＝ACsinB＝2R，从而sinA－sinCsinB＝BC－ABAC＝56.56例2根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．双曲线的标准方程双曲线的标准方程设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程．解方法一(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，(－3)2a2－(23)2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.故所求双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a2－4b2＝1.又 a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，(k＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.求双曲线的方程...
