(能用计数原理证明二项式定理/会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题)10.3二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝(nN∈*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的．2．二项式系数：二项展开式中有n＋1项，各项的系数(r＝0,1…，n)叫系数．3．通项：an－rbr叫二项展开式的，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝an－rbr.二项展开式二项式通项4．二项式系数的性质(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数．(2)增减性与最大值．相对于的增减情况由决定，相等当k＜时，二项式系数逐渐.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值．(3)各二项式系数和：增大最大值1．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析：(x－1)4＝1＋＋x4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4∴a0＝1，a2＝＝6，a4＝1，∴a0＋a2＋a4＝8.答案：B2．若()n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为()A．－540B．－162C．162D．540解析：由已知条件(3－1)n＝64，则n＝6，Tr＋1＝由3－r＝0得r＝3，则展开式中的常数项为＝－540.答案：A3．在(x－)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()A．23008B．－23008C．23009D．－23009解析：(x－)2006＝x2006＋x2005(－)＋x2004(－)2＋…＋(－)2006，由已知条件S＝＝－22005·21003＝－23008.答案：B4．(2010·上海春)在的二项展开式中，常数项是________．解析：Tr＋1＝，由题意知12－3r＝0，∴r＝4，故常数项为T5＝60.答案：60对于二项展开式(a＋b)n＝中，叫做通项，要注意此项是展开式中的第r＋1项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题．【例1】若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1(n∈N)．且a∶b＝3∶1，那么n＝________.解析：a＝，b＝又a∶b＝3∶1，所以，＝3，解得n＝11.答案：11变式1.在二项式(1－3x)n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么n＝______，这个展开式中含x2项的系数是______．解析：本题考查二项式定理知识．令x＝1得二项展开式各项系数和，即(1－3)n＝64⇒n＝6，因为Tr＋1＝Cr6(－3x)r，令r＝2得其系数为＝135.答案：6135利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题．【例2】若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9等于()A.9B．10C．－9D．－10解析：x2＋x10＝[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝1－2(x＋1)＋(x＋1)2＋1－＋(x＋1)10.∴a9＝－＝－10.答案：D变式2.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是()A．1B．－1C．0D．2解析：令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2)4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4(－2)4＝1.答案：A二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展开式，而杨辉三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证．【例3】在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………解答：(1)(2)，则1＋2＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)假设在第n行中有三个连续的数它们的比为3∶4∶5，即由，得7r＝3n＋3，①由，得9r＝4n－5，②解①②联立方程组得因此可知：第62行的第27,28,29个数它们的比是3∶4∶5.变式3.已知()n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中所有的有理项；(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．解答：由题意第五...
