第五节数列的综合应用考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.热点提示1.以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式.2.等差、等比交汇，考查数列的基本计算.3.数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用.4.以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想.1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+rn），属于等差模型.复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an=a（1+r）n，属于等比模型.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟【解析】依题意1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7，则所求为7秒钟．【答案】B2．已知函数f(x)＝，其对称中心是，若an＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A．10B．11C．12D．131－2n1－232x－11112，032n－11【解析】由题意可知是其对称中心，a1＋a10＝0，a2＋a9＝0，…即a1＋a2＋…＋a10＝0，即S10＝0，而a11＝f(11)>0，∴S11>0.【答案】B3．等差数列{an}中，an≠0，n∈N*，有2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于()A．2B．4C．8D．16112，0【解析】 a72＝2a3＋2a11＝2(a3＋a11)＝4a7，∴a7＝0(舍)或a7＝4，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b72＝16.【答案】D4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________．【解析】 a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，且b≠0.又Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2<0，∴f(x)的图象与x轴没有公共点．【答案】05．在数列{an}中，对任意自然数n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝________.【解析】 a1＋a2＋…＋an＝2n－1①∴当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1②∴①－②得an＝2n－1(n≥2)．又a1＝21－1＝1适合上式，∴an＝2n－1，∴an2＝22n－2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝(4n－1)．【答案】(4n－1)1－4n1－4＝1313等差、等比数列的综合问题(2008年天津高考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)．证明{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【思路点拨】(1)利用等比数列的定义证明；(2)利用{bn}的通项公式，累加法求an；(3)利用等差中项公式a6＋a9＝2a3和an＋3＋an＋6＝2an或an－an＋3＝an＋6－an证明即可．【自主探究】(1)由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1(n≥2)．又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，所以当n≥2时，an＝，上式对n＝1显然成立．1＋1－qn－11－q(q≠1)n(q＝1)(3)由(2)，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1，由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得，q3－1＝1－q6①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3...
