第5课时空间中的垂直关系第5课时空间中的垂直关系考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，则直线l与此平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条____直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____．任意一条相交平行2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两个半平面垂直于棱3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内____________的直线与另一个平面垂直．直二面角垂线垂直于交线思考感悟垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：可能平行，也可能相交．4．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为___________.90°和0°考点探究·挑战高考考点突破考点突破线面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.例例11【思路分析】M、N是中点，取PD中点E→MN∥AE→AE⊥面PCD→MN⊥面PCD【证明】如图，取PD的中点E，连接AE，NE. E、N分别为PD、PC的中点，∴EN綊12CD.又 M为AB的中点，∴AM綊12CD.∴EN綊AM，∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE. PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．∴AE⊥PD.又 CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.【方法指导】欲证线面垂直，一般是先证线线垂直，而线线垂直一般来源于线面垂直、面面垂直及几何体本身的特点，如等腰三角形底边的中线、直棱柱等．互动探究本例中，连接BD，则当矩形ABCD满足什么条件时，PC⊥BD?解：若PC⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．∴矩形ABCD为正方形，即当矩形ABCD为正方形时，PC⊥BD.证明面面垂直常用的方法有：(1)利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线平行．(2)利用定义转化，证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可．平面与平面垂直的判定与性质(2010年高考安徽卷)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．例例22【思路分析】AC与BD的交点为G，连EG，证明EG∥FH，EG⊥AC.【解】(1)证明：如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连结EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3) EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2.VB－DEF＝13×12×1×2×2＝13.对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小...
