第四节空间的角知识自主·梳理最新考纲1.掌握两条直线所成的角的概念．2．掌握直线和平面所成的角的概念．3．掌握二面角、二面角的平面角的概念．高考热点1.以客观题考查异面直线所成的角．2．以解答题考查直线和平面所成的角及二面角，特别是求二面角的平面角.一、异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．求作异面直线所成角的方法(1)平移法：在异面直线中的一条直线上选择一，作另一条直线的平行线；特殊点(2)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．3．范围：．二、直线与平面所成的角1．定义：直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行或直线在平面内时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角．2．求作直线和平面所成角的方法斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段，斜线段及斜线段在平面内的射影．其中的关键是作出射影线段．(它是由垂线段的垂足和斜足连结而成的)．三、二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．2．求作二面角的方法二面角的大小是用它的来度量的．找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：(1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特殊性．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．平面角(3)垂画法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，这两垂线作平面与两个平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所成的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影公式，其中θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来．对于没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法．3．范围：．S射＝S投cosθ[0，π]解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”．空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一个三角形中进行计算.重点辨析方法规律·归纳题型一求异面直线所成的角思维提示①按“作，证，求，答”的步骤求解②作出异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，但常用以下三种方法：a.直接平移法(可利用图中已有的平行线)；b.中位线平移法(利用三角形中位线定理等)；c.补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找出平行线)③向量法例1如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面DOC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．[分析](1)寻找线面平行的条件利用判定定理证明；(2)用中位线平移法先找后求．[解](1)证明：连结D1C交DC1于点O1，连结OO1. O、O1分别是AC和D1C的中点，∴OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，∴AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，由题设可得OD＝52，O1D＝52，OO1＝22.由余弦定理，得cos∠OO1D＝(52)2＋(22)2－(52)22×52×22＝225，故AD1和DC1所成角的余弦值为225.[规律总结]求异面直线所成角分四步：作，证，求，答．“作”即过空间一点作两条异面直线的平行线，而空间一点一般取在两条异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处；“证”即证明所作角符合异面直线所成角的定义；“求”是通过解三角形，计算出所作角的大小；“答”即最后指明结论．求异面直线所成的角要注意以下两点：①当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上...
