【考纲解读】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1提示：正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，不拘泥于“角的形式”，例如：sin2＋cos2＝1等都是成立的，但sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．2．诱导公式α函数sinαcosαtanαα＋2kπ，k∈Z－απ＋απ－αsinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinα－cosαtanαsinα－cosα－tanαα函数sinαcosαtanα2π－α－α＋α－α＋α－sinαcosα－tanαcosαsinαcosα－sinα－cosα－cosα－sinαsinα【思考】请你叙述一下如何把任意角的三角函数化为锐角三角函数？答案：1．(2009·全国Ⅰ)sin585°的值为()解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－答案：A2．α是第四象限角，cosα＝，则sinα＝()解析：∵α是第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－答案：B3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：D4．(2009·北京卷)若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.解析：∵sinθ＝－<0，tanθ>0，∴θ在第三象限，∴cosθ＝－1.三角函数式化简的一般要求是：三角函数名尽量少，项数尽量少，尽量使分母不含三角函数式，能求出具体值的必须求出值．三角函数式的化简过程通常遵循一定的原则，如切割化弦、化异为同、化高为低、化大为小、从繁到简等．2．求三角函数式的值．(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他5种三角函数值．要注意公式的合理选择，利用平方关系时，要特别注意符号的选取．这也是分类讨论的标准．(2)关于sinα，cosα的同次式可化为正切处理．【例1】解：原式＝∵sinαcosα<0，sinαtanα<0，∴α是第二象限的角，∴是第一或第三象限的角，当是第一象限角时，cos>0，∴原式＝；当是第三象限角时，cos<0，∴原式＝－.若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简思维点拨：由已知条件确定的范围，再把被开方式化成完全平方式，脱掉根号，去掉绝对值号．变式1：(1)(2009·陕西卷)若tanα＝2，则的值为()解析：原式＝答案：B(2)(2009·辽宁卷)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθ·cosθ－2cos2θ＝()解析：原式＝答案：D利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．【例2】化简．思维点拨：对k分奇数和偶数两类后，正确使用诱导公式求解．解：当k为偶数2n(n∈Z)时，当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，∴当k∈Z时，原式＝－1变式2：已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos求f(α)的值．解：(1)f(α)＝对于sinxcosx，sinx＋cosx，sinx－cosx借助平方关系可知一求二，如(sinx±cosx)2＝1±2sinxcosx；若令sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝(sinx－cosx)2＝2－t2等．【例3】已知－0.(cosθ－sinθ)2＝则sinθ－cosθ＝由①②知cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－变式3：【方法规律】1．进行三角函数式的恒等变形，要善于观察题目特征，灵活选择公式，通过三角变换达到化异为同的目的．2．掌握三角变换的常见技巧：(1)1的代换；(2)sinα＋cosα、sinα－cosα、sinαcosα三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．若已知sinα＋cosα＝p，sinαcosα＝q，则可消去α，求出关系式1＋2q＝p2；(3)关于sinα，cosα的齐次式可化为关于tanα的式子．3．诱导公式的记忆方法是：函数名不变、符号看象限(或奇变偶不变、符号看象限).(12分)若sinθ＝的值．【阅卷实录】【教师点评】【规范解答】解：原式＝【状元笔记】记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．”点击此处进入作业手册
