第 四 节两角和与差的三角函数 重点难点 重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用这些公式化简三角函数式，求三角函数值，证明三角恒等式等． 难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用． 知识归纳 1．在两角和与差的公式中，以公式 C(α±β)为最基本，其推导过程应熟练掌握．教材用平面向量对 C(α－β)进行了推导，类似地也可以用平面向量方法推证 C(α＋β)．下面用对称和两点间的距离公式给出 C(α＋β)的推证过程，望细心体会其思路方法． 如右图，点 P1，P2，P3，P4 的坐标分别为 P1(1,0)，P2(cosα，sinα)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4 (cos(－β)，sin(－β))，由 P1P3＝P2P4 及两点间距离公式得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，整理得 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，本公式中 α，β 对任意角都成立． 也可以先用此法导出 C(α－β)． 2．公式之间的关系及导出过程 3．和、差、倍角公式 (1)Cα±β：cos(α±β)＝ . (2)Sα±β：sin(α±β)＝ . (3)Tα±β：tan(α±β)＝ . cosαcosβ∓sinαsinβ sinαcosβ±cosαsinβ tanα±tanβ1∓tanα·tanβ (4)S2α：sin2α＝ . (5)C2α：cos2α＝ ＝ ＝ . (6)T2α：tan2α＝ . 只有③和⑥对角 α，β 须附加限制条件，使其有意义．如⑥中须 α≠kπ＋π2且 α≠kπ2 ＋π4.(k∈Z)． 2sinαcosα cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 2tanα1－tan2α 4．asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba. φ 的终边所在象限由 a，b 的符号来确定． 误区警示 1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记，二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用． 2．三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构(如和积互变)等．应特别注意变换的等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找联系，实现转化． 3．在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论(估计)角的取值范围，依据此范围来求角的值或讨论函数的符号．解三角函数求值(角)题，千万不要不假思索，盲目就下结论． 一、公式的灵活运用 1．公式的逆用与变形运用 如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα...
