第八节立体几何中的向量方法考纲点击1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 .2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 .3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 ( 包括三垂线定理 ).4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 .热点提示1. 考查向量法判定线面位置关系 .2. 利用向量法求空间角与距离 .3. 在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想 .1 ．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1) 直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量．(2) 平面的法向量可利用方程组求出：设 a ， b 是平面 α 内两不共线向量， n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为非零2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2所成的角 θ 满足 cosθ＝cos〈m1，m2〉 . (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sinθ＝cos〈m，n〉 . (3)求二面角的大小 ①如图①，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈A B→，C D→〉． ② 如图②③， n1 ， n2 分别是二面角 α － l － β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足cosθ ＝ ．cos 〈 n1 ， n2 〉或－ cos 〈 n1 ， n2 〉3 ．点面距的求法如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段， n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离1 ．若直线 l1 ， l2 的方向向量分别为 a ＝ (2,4 ，－ 4) ，b ＝ ( － 6,9,6) ，则 ( )A ． l1∥l2 B ． L1 ⊥l2C ． l1 与 l2 相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】 B【解析】 a·b ＝－ 12 ＋ 36 － 24 ＝0 ，∴ a⊥b ，∴ l1⊥l2.2 ．若平面 α ， β 的法向量分别为 n1 ＝ (2 ，－ 3,5) ，n2 ＝ ( － 3,1 ，－ 4) ，则 ( )A ． α∥β B ． α⊥βC ． α ， β 相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】 C【解析】 n·n2 ＝－ 6 － 3 － 20 ＝－29.又 n1 不平行于 n2 ，∴ α ， β 相交但不垂直．3 ．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量...
