第七章 平行线的证明7.5 三角形内角和定理第 1 课时 三角形的内角和 ◎新知梳理 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于_____． 2. 证明三角形内角和定理的基本思路是：通过平行线把三角形三个内角转化成平角或同旁内角互补，即把新知识转化为旧知识去解决． 180° ◎自主检测 知识点：三角形内角和定理的应用 1. 在△ ABC 中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C 等于( ) A．30° B．67.5° C．105° D．135° B2. (2017·长沙)一个三角形三个内角的度数之比为123∶ ∶ ，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 B3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥ b，1∠ ＝50°，2∠ ＝60°，则3∠ 的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° C4. △ ABC 中，∠B＝50°，∠C＝60°，AD 是∠A 的平分线，则∠DAC 的大小为______°. 35 探究：如图，在△ ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥ AC，∠B＝50°，∠EDC＝22°，求∠ADC 的度数． 解：求得∠BCD＝∠ACD＝22°， ∠ACB＝44°，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－50°－44°＝86°，∠ADC＝180°－∠A－∠ACD，＝180°－86°－22°＝72°. 探究：如图所示，求∠A，∠ABE，∠ACD，∠D，∠BED 的和．(提示：连接 BC) 解：连接 BC，则∠D＋∠BED＝∠BCD＋∠CBE， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠BED＝180°. ◎基础训练 1. 如图，已知 D，E 在△ ABC 的边上，DE∥ BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A 的度数为( ) A．100° B．90° C．80° D．70° C2. (2017·陕西)如图，在△ ABC 中，BD 和 CE 是△ ABC的两条角平分线，若∠A＝52°，则1∠ ＋2∠ 的度数为___． 64° 3. (2017·重庆 B 卷)如图，直线 EF∥ GH，点 A 在 EF上，AC 交 GH 于点 B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点 D 在 GH 上，求∠BDC 的度数． 解：∵EF∥GH， ∴∠DBC＝∠FAC. 又∵∠FAC＝72°， ∴∠DBC＝72°. 在△ BCD 中，∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠BCD＝180°－72°－58°＝50°. 4. 如图，a∥ b, 1∠ ＝48°， 2∠ ＝42°，求证：AB⊥BC. 证明：由2∠ ＋∠ACB＝90°，证∠ABC＝90°. ◎拓展提升 5. 在不等边三角形中，最小的角可以是( ) A．80° B．65° C．60° D．59° D6. 如图，在△ ABC 中， ∠B＜∠C，AE⊥BC 于点 E，AD 平分∠BAC. (1)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE 的度数； (2)若∠B＝28°，∠C＝78°，请直接写出∠DAE 的度数； (3)若∠B＝β，∠C＝γ，∠DAE＝α，猜想 α，β，γ之间的数量关系，并加以证明． 解：(1)∠DAE ＝15°； (2)∠DAE ＝25°； (3)α＝12(γ－β)， 证明：∠BAD＝12(180°－γ－β)， ∠BAE＝90°－β， ∴∠DAE＝(90°－β)－12(180°－γ－β)＝12γ－12β.
