函数与导数解答题5、已知函数为自然对数的底数 (I) 当时，求函数的极值； (Ⅱ) 若函数在[-1，1]上单调递减，求的取值范围．解：（I）当时，，………………2 分当 变化时，，的变化情况如下表：13－0＋0－递减极小值递增极大值递减所以，当时，函数的极小值为，极大值为.……………5 分（II）令① 若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减.………………7 分② 若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减.………………9 分③ 若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减.………………………11 分综上所述，函数在区间上单调递减时， 的取值范围是．…12 分6、已知函数2( )(33)xf xxxe，设2t , ( 2),( )fm f tn .（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数( )f x 在2,t上为单调函数；（Ⅱ）试判断,m n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的2t ,总存在0( 2, )xt ，满足0'20()2 (1)3xfxte,并确定这样的0x 的个数.∴ ( )f x 在2, 上的最小值为( 2)f -------------7 分 从而当2t 时,( 2)( )ff t，即mn -------------8 分（Ⅲ）证： 0'2000()xfxxxe，又 0'20()2 (1)3xfxte，∴22002 (1)3xxt, 令222( )(1)3g xxxt,从而问题转化为证明方程222( )(1)3g xxxt=0 在( 2, )t上有解,并讨论解的个数 -------------9 分 222( 2)6(1)(2)(4)33gttt ,221( )(1)(1)(2)(1)33g tt tttt, ---------------- 10 分① 当421tt 或时, ( 2)( )0gg t,所以 ( )0g x 在( 2, )t上有解,且只有一解 ---------------- 11 分② 当14t 时, ( 2)0( )0gg t且,但由于22(0)(1)03gt,所以 ( )0g x 在( 2, )t上有解,且有两解 ------------------- 12 分③ 当1t 时,2( )001g xxxxx 或,故 ( )0g x 在( 2, )t上有且只有一解；当4t 时,2( )6023g xxxxx 或, 所以 ( )0g x 在( 2,4)上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的2t,总存在),2(0tx,满足0'20()2 (1)3xfxte,且当421tt 或时,有唯...
