第二十五章 概率初步专题 45 抛物线与几何武汉专版 · 九年级上册一、线段中点1 ．如图，点 A( － 2 ， 0) ，过点 A 的直线 l 交抛物线 y ＝ x2 － 4x ＋ 4 于 B ， C 两点．若点 B 为线段 AC 中点，求直线 l 的解析式．【解析】设 C(a，(a－2)2)，其中 a＞0.∵A(－2，0)，点 B 为 AC 中点，∴B(a－22，（a－2）22)．将点 B 的坐标代入y＝(x－2)2中，得(a－22－2)2＝（a－2）22.解得 a＝－2±4 2.∵a＞0，∴a＝4 2－2.∴C(4 2－2，48－32 2)．设直线 l：y＝kx＋b，将点 A、点 C 的坐标代入得－2k＋b＝0，（4 2－2）k＋b＝48－32 2.解得k＝6 2－8，b＝12 2－16.∴直线 l 的解析式为：y＝(6 2－8)x＋12 2－16.二、 45° 角2 ．如图，已知抛物线 y ＝－ x2 ＋ 2x ＋ 3 与 y 轴交于点 B ，点 A(1 ， 0) ，点 P 是第一象限内抛物线上一点，使得线段 OP 与直线 AB 的夹角为 45° ，求点 P 的坐标．【解析】过点 A 作射线 AQ∥OP，过 B 作 BC⊥AB 交 AQ 于点 C，过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D.设 OP 交 AB 于点 K，则∠OKA＝45°，又 AQ∥OP，∴∠BAC＝∠OKA＝45°，结合 BC⊥AB，易证△ABO≌△BCD，又由题设知 B(0，3)，A(1，0)，∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝1，∴C(3，4)，易求 AC 解析式为 y＝2x－2，由 AQ∥OP 知 OP 的解析式为 y＝2x，联立 y＝－x2＋2x＋3，消去 y 得 x2－3＝0，∴x＝± 3，∴P( 3，2 3)．(另法：亦可过点 O 作 OR⊥OK 交 BA 延长线于点 R，得到△KOR 为等腰直角三角形再解题．)三、平行四边形3 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ＝－ x2 ＋ x ＋ 2 的图象与 x 轴交于点 A ， B( 点B 在点 A 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C. 若点 N 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点 M ，使以点 A ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形？2123【解析】存在．理由如下，对于抛物线 y＝－12x2＋32x＋2，令 y＝0，得－12x2＋32x＋2＝0，解得 x＝－1 或 4；令 x＝0，得 y＝2，∴B(－1.0)，A(4，0)，C(0，2)．对称轴 x＝32.如图所示，①当以 AC 为边时，易知点 M 的横坐标为112 或－52，此时 M1(112 ，－398 )，M2(－52，－398 )；②当以 AC 为对角线时，易知点 M 的横坐标为52，此时 M3(52，218)．综上所述，当点 M 的坐标为(112 ，－398 )或(－52，－398 )或(52，218 )时，以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
