3 正方形的性质与判定第 2 课时1. 正方形的判定定理 :(1) 对角线 _____ 的菱形是正方形 .(2) 对角线 _____ 的矩形是正方形 .(3) 有一个角是 _____ 的菱形是正方形 .相等垂直直角2. 中点四边形与原四边形的关系 :(1) 任意四边形的中点四边形是 ___________.(2) 对角线相等的四边形的中点四边形是 _____.(3) 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是 _____.(4) 对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是 _______.平行四边形菱形矩形正方形【思维诊断】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 邻边相等的矩形是正方形 .( )2. 一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 .( )3. 一条对角线平分一组对角的矩形是正方形 .( )4. 顺次连接平行四边形四边中点得到的是正方形 .( )√×√×知识点一 正方形的判定与应用【示范题 1 】 (2013· 南京中考 ) 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB=BC, 对角线 BD 平分∠ ABC,P 是 BD 上一点 , 过点 P 作PM⊥AD,PN⊥CD, 垂足分别为 M,N.(1) 求证 :∠ADB=∠CDB.(2) 若∠ ADC=90°, 求证 : 四边形 MPND是正方形 .【解题探究】 (1)∠ADB 和∠ CDB 分布在两个三角形中 , 先证明什么条件 , 才能证明∠ ADB=∠CDB?提示 : 根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ ABD≌△CBD, 由全等三角形的性质即可得到∠ ADB=∠CDB.(2) 由∠ ADC=90° 和已知条件可得四边形 MPND 是什么样的四边形 ? 再证明什么条件 , 才能证明四边形 MPND 是正方形 .提示 : 由∠ ADC=90° 和已知条件可得四边形 MPND 是矩形 , 再由 PM=PN 可得四边形 MPND 是正方形 .【尝试解答】 (1) 对角线 BD 平分∠ ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ ABD 和△ CBD 中 ,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.(2) PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°, ∠ADC=90°,∴ 四边形 MPND 是矩形 .又 ∠ ADB=∠CDB,∴PM=PN,∴ 四边形 MPND 是正方形 .ABCB,ABDCBDBDBD,，【想一想】从对角线角度怎样判定正方形 ?提示 :(1) 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 .(2) 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 .(3) 对角线相等的菱形是正方形 .(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形 .【微点拨】1. 如果已知四边形是矩形 , 再证明其是菱形 , 即可判定其是正方形 .2. 如果已知四边形是菱形 , 再证明其是矩形 , ...
