函数的性质（二）（三）函数的周期性 1 、函数 f(x) ，对于定义域内任意的 x ，满足 f(x+a)=f(x) (a>0 ， a 为常数 ) ，则 f(x)是周期为 a 的周期函数。其中满足条件的最小的正数 a 叫做最小正周期。 2 ．类比“三角函数图象”得： ① 若 y=f(x) 图像有两条对称轴 x=a, x=b(a≠b) ，则 y=f(x) 必是周期函数，且一周期为 T=2|a−b| ； ② 若 y=f(x) 图像有两个对称中心 A(a,0) 、 B(b,0) (a≠b) ，则 y=f(x) 是周期函数，且一周期为T=2|a−b| ； ③ 如果函数 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0) 和一条对称轴 x=b (a≠b) ，则函数 y=f(x) 必是周期函数，且一周期为 T=4|a−b| ；例：已知定义在 R 上的函数 f(x) 是以 2 为周期的奇函数，则方程 f(x)=0 在 [−2 ， 2]上至少有 __________ 个实数根。 53 ．由周期函数的定义推得：① 函数 f(x) 满足 f(x+a)=−f(x)(a>0) ，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数；② 若 f(x+a)= (a>0) 恒成立，则 T=2a ；③ 若 f(x+a)=− (a>0) 恒成立，则 T=2a ；1( )f x1( )f x例： (1) 设 f(x) 是 (−∞, +∞) 上的奇函数， f(x+2)=−f(x) ，当 0≤x≤1 时， f(x)=x ，则 f(47.5) 等于 .−0.5(2) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x) ，且在 [−3, −2] 上是减函数，若 α 、 β 是锐角三角形的两个内角，则 f(sinα) ， f(cosβ) 的大小关系为 。(sin)(cos)ff（ 3 ）已知 f(x) 是偶函数，且 f(1)=993 ， g(x)=f(x － 1) 是奇函数，则 f(2007) 的值是 . 993（ 4 ）设 f(x) 是定义域为 R 的函数，且 f(x+2)[1−f(x)]=1+f(x) ，又 f(2)=2+ ，则 f(2006)= 2222（四）抽象函数 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。 求解抽象函数问题的常用方法有如下几种常见形式：1 ．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：① 正比例函数型： ( )(0)f xkx k()( )( )f xyf xf y② 幂函数型： 2( )f xx()( ) ( )f xyf x f y( )( )( )xf xf yf y③ 指数函数型： ( )xf xa()( ) ( )f xyf x f y( )()( )f xf xyf y④ 对数函数型： ( )logaf xx()( )( )f xyf...
