第二十五讲平面向量的数量积回归课本1
向量的夹角 (1) 已知两个非零向量 a 和 b, 作 则∠ AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角
,,OAa OBb�(2) 向量夹角 θ 的范围是 [0,π],a 与 b 同向时 , 夹角 θ=0;a 与b 反向时 , 夹角 θ=π
(3) 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°, 我们说 a 与 b 垂直 , 记作ab⊥
向量的投影|a|cosθ(|b|cosθ) 叫做向量 a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 ) 的投影
平面向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ(θ 是向量 a 与 b 的夹角 ), 规定 : 零向量与任一向量的数量积为 0
向量数量积的性质设 a,b 都是非零向量 ,e 是与 b 方向相同的单位向量 ,θ 是 a 与 e的夹角 , 则(1)e·a=a•e=|a|cosθ
(2)ab⊥ ⇔=a•b=0
(3) 当 a 与 b 同向时 ,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时 ,a·b=-|a||b|;特别地 ,a·a=|a|2或 |a|=(4)cosθ=(5)|a·b|≤|a||b|
||||a ba b5
向量数量积的运算律(1)a·b=b•a
( 交换律 )(2)(λa)·b=λ(a•b)=a•(λb)
( 数乘结合律 )(3)(a+b)·c=a•c+b•c
( 分配律 )6
平面向量数量积的坐标表示(1) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a·b=x1x2+y1y2
(2) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角 , 则 cosθ=121222221122
x xy yxyxy (3) 若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则 |a|= 这就是平面内两
