第二十八讲等差数列回归课本1. 等差数列的定义及等差中项(1) 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与前一项的差都等于同一个常数 , 那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫等差数列的公差 , 通常用字母 d 表示 . 定义的表达式为 an+1-an=d(nN∈*). (2) 对于正整数 m 、 n 、 p 、 q, 若 m+n=p+q, 则等差数列中 am、 an、 ap、 aq的关系为 am+an=ap+aq; 如果 a,A,b 成等差数列 , 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 , 其中 .2Aab 2. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d; 前 n 项和公式为 Sn= 或1()2nn aa(1) .2n nd3. 等差数列的性质(1) 等差数列的通项是关于自然数 n 的一次函数 (d≠0).(n,an)是直线上的一群孤立的点 ,an=an+b(a 、 b 是常数 ) 是 {an}成等差数列的充要条件 .(2) 等差数列 {an} 的首项是 a1, 公差为 d. 若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn, 则 当 d≠0 时它表示二次函数 , 数列 {an} 的前 n 项和Sn=An2+Bn 是 {an} 成等差数列的充要条件 .1,,22ddABa (3) 等差数列的增减性 ,d>0 时为递增数列 , 且当 a1<0 时前 n项和 Sn有最小值 .d<0 时为递减数列 , 且当 a1>0 时前 n 项和 Sn有最大值 .4. 与等差数列有关的结论(1) 若数列 {an} 和 {bn} 是等差数列 , 则 {man+kbn} 仍为等差数列 , 其中 m,k 为常数 .(2) 等差数列中依次 k 项和成等差数列 , 即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 成等差数列 , 且公差为 k2d(d 是原数列公差 ).(3) 项数为偶数 2n 的等差数列 {an}, 有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)(an与 an+1为中间的两项 );S 偶-S 奇=nd;1.nnSaSa 奇偶 (4) 项数为奇数 2n-1 的等差数列 {an}, 有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项 );S 奇-S 偶=an; S 奇､ S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 ..1SnSn 奇偶5. 与等差数列有关的规律(1) 等差数列 {an} 中 , 若 an=m,am=n(m≠n), 则 am+n=0.(2) 等差数列 {an} 中 , 若 Sn=m,Sm=n(m≠n), 则 Sm+n=-(m+n).(3) 等差数列 {an} 中 , 若 Sn=Sm(m≠n), 则 Sm+n=0.(4) 若 {an} 与 {bn} 均为等差数列 , 且前 n 项和分别为 Sn与 S′n,则2121.mmmmaSbS 6. 等差数列的判定方法(1) 定义法 :an+1-an=d( 常数 )⇔{an} ...
