• 1 ．数量积的有关概念• ① 两个非零向量 a 与 b ，过 O 点作＝ a ，＝ b ，则•. 叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是•°.• ②a 与 b 的夹角为度时，叫 a⊥b• ③ 若 a 与 b 的夹角为 θ ，则 a·b ＝ |a|·|b|cosθ.• ④ 若 a ＝ (x1， y1) ， b ＝ (x2， y2) ，则 a·b ＝.• ⑤a 在 b 的方向上的投影为 |a|cosθ.∠AOB ＝ θ0°≤θ≤180x1x2 ＋ y1y2• 3 ．注意• ① 两个向量的数量积是一个实数．• ∴0·a ＝ 0( 实数 ) 而 0·a ＝ 0• ② 数量积不满足给合律 (a·b)·c≠a·(b·c)• ③a·b“中的 ·” 不能省略．•1 ． (08· 陕西卷 ) 关于平面向量 a ， b ， c ，有下列三个命题：•① 若 a·b ＝ a·c ，则 b ＝ c.•②|a·b| ＝ |a|·|b|⇔ a∥ b.•③a⊥b⇔ |a ＋ b| ＝ |a － b| ；•④|a| ＝ |b|⇔ |a·c| ＝ |b·c|.•⑤ 非零向量 a 和 b 满足 |a| ＝ |b| ＝ |a － b| ，则 a 与 a ＋ b 的夹角为 60°.•其中真命题的序号为 ______ ． ( 写出所有真命题的序号 ) ．•答案 ②• 解析 ①由数量积定义 a·b ＝ |a|·|b|·cosθ ，若 a·b ＝ a·c• 则 |a|·|b|cosθ ＝ |a|·|c|cosφ ，∴ |b|·cosθ ＝ |c|cosφ• 即只要 b 和 c 在 a 上的投影相等，• 则 a·b ＝ a·c• ② 中 a·b ＝ |a|·|b|·cos θ ，∴由 |a·b| ＝ |a|·|b| 及 a、 b 为非零向量可得 |cos θ| ＝ 1 ，∴ θ ＝ 0 或π ，∴ a∥b 且以上各步均可逆，故命题②是真命题．• ③ 中当 a⊥b 时，将向量 a 、 b 的起点确定在同一点，则以向量 a 、 b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有 |a ＋ b| ＝ |a － b|. 反过来，若 |a ＋ b| ＝ |a－ b| ，则以 a 、 b 为邻边的四边形为矩形，所以有 a⊥b ，因此命题③是真命题．• ④ 中当 |a| ＝ |b| 但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时，就有 |a·c|≠|b·c| ，反过来由 |a·c| ＝ |b·c| 也推不出 |a| ＝ |b|. 故命题④是假命题．⑤如图②， |a|＝|b|＝|a－b|， ∴△OAB 为等边三角形， 而 a＋b＝OC→ ，∴a 与OC→ 夹角为 30°. • 失分警示 解决向量问题常常要数形结合， a·b ...
