第三节 等比数列 • 1 ．等比数列的定义• 一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母 (q≠0) 表示．第 2 项前一项同一个公比q •等比数列与等差数列的定义从字面上看差不多，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不能为零，项与公比的正负号有着密切关系等等． • 2 ．等比数列的通项公式• 设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q ，则它的通项 an＝.• 3 ．等比中项• 如果三个数 a 、 G 、 b 组成，则 G 叫做 a 和b 的等比中项，那么 ，即 G2＝.• b2＝ ac 是 a ， b ， c 成等比的什么条件？a1qn － 1等比数列ab • • b2＝ ac 是 a ， b ， c 成等比的什么条件？• 【提示】 b2＝ ac 是 a ， b ， c 成等比的必要不充分条件，• 当 b ＝ 0 ， a ， c 至少有一个为零时，b2＝ ac 成立，但 a ， b ， c 不成等比，反之，若 a ， b ， c 成等比，则必有 b2＝ ac. • 4 ．等比数列的前 n 项和公式 •(1) 公式的推导分 q ＝ 1 和 q≠1 两种情况分别求解．当 q ＝ 1 时，数列为常数列，易有 Sn＝ na1；当 q≠1 时，采用“错位相减法”进行推导，这种方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．• (2) 在利用等比数列前 n 项和公式时，如果等比数列的公比 q 不确定，需分 q ＝ 1 和 q≠1 两种情况进行讨论． •等比数列有关性质• (1) 在等比数列中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则am·an＝ ap·aq(m ， n ， p ， q∈N) ．• 特别地，当 m ＋ n ＝ 2p 时，有 am·an＝ a.• (2) 间隔相同的项，如 a1， a3， a5，…仍为等比数列，且公比为 q2.• (3) 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－ Sn， S3n－ S2n成等比数列，公比为 qn. (4)单调性： 若 a1＞0q＞1或 a1＜00＜q＜1 ⇔ {an}递增． 若 a1＞00＜q＜1 或 a1＜0q＞1⇔ {an}递减． q＝1⇔ {an}为常数列；q＜0⇔ {an}为摆动数列． 1．已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a25，a2＝1，则 a1＝ ( ) A．2 B. 2 C. 22 D.12 • 【解析】 设公比为 q. 由已知得 a1q2·a1q8＝ 2(a1q4)2，• 即 q2＝ 2. 因为等比数列 {an} ...
