在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉及的内容 , 形式多样 , 没有一定的程序可循 , 综合性强 , 解起来有相当的难度 , 但是只要认真仔细去探索 , 还是有一些常用之法 . 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法 .一、配凑法例 1 已知 f( )= + , 求 f(x). xx+1x2x2+1x1∴f(x)=x2-x+1(x≠1). 解 : f( )= + xx+1x2x2+1x1 =1+ +x21x1 =( +1)2-( +1)+1 x1x1 并且≠ 1, xx+1=( )2-( )+1 xx+1xx+1 评注 : 若在给出的函数关系式中与的关系不明显时 , 要通过恒等变形寻找二者的关系 . + x2x2+1x1xx+1 二、换元法 所以 f(x)=2lnx-3 (x>0). 评注 : 通过换元 , “”“”用 新元 代替原表达式中的 旧元 , 从而求得 f(x). 又如 : 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x). 例 2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x). 解 : 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t>0, 有 : f(t)=2lnt-3 (t>0). f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0) 三、解方程组法例 3 已知 f(x)+f( )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x). xx-1解 : 记题中式子为①式 , 用代替①中的 x, 整理得 :xx-1f( )+f( )= , ②xx-11-x1x2x-1 再用代替①中的 x, 整理得 :1-x1f( )+f(x)= , ③1-x11-x2-x解由 ① , , ② ③ 组成的方程组 , 得 : 2x(x-1)x3-x2-1f(x)= . 评注 : 把 f(x), f( ), f( ) “”都看作 未知数 , 把已知 条件化为方程组的形式解得 f(x). 又如 : 已知 af(x)+bf( )=cx, 其中 , |a|≠|b|, 求 f(x). xx-1 1-x 1 1xf(x)= (ax- ). a2-b2cbx四、递推求和法 例 4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数 , a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式 .解 : 由已知 , f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, …, f(n)-f(n-1)=an, 将这 (n-2) 个式子相加 , 得 : 评注 : 这是运用数列中递推公式的思想 . f(n)-f(2)=a3+a4+…+an= n-2 (a=1 时 ); a3(1-an-2)(1-a)-1 (a≠1 时 ). ∴ f(n)= n+6 (a=1 时 ); 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时 ). f(2)=8, 五、待定系数法例 5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解 : 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式 .而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式 , 则可设 : f(x)=ax2+bx+c, 从而有 : f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2...
