广东省珠海市金海岸中学 2012 届高三考前专题讲座：特征方程法求递推数列的通项公式一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式 中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即， 其 中是 以为 公 比 的 等 比 数 列 ， 即.证 明 ： 因 为由 特 征 方 程 得作 换 元则当时，，数列是以 为公比的等比数列，故当时，，为 0 数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理 1 的应用.例 1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例 2．已知数列满足递推关系：其中 为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须二、（二阶线性递推式）定理 2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B 由决定（即把和，代入，得到关于 A、B 的方程组）；当时，数列的通项为，其中 A，B 由决定（即把和，代入，得到关于 A、B的方程组）。例 3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式递推式)定理 3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中 p、q、r、h 均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中例 3、已知数列}{na满足性质：对于且求的通项公式.解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部分，则有∴∴即例 5．已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理 2 的第（1）部分解答.(1) 对于都有(2) ∴ 令，得.故数列从第 5 项开始都不存在，当 ≤4，时，.(3) ∴∴令...
