第七章多元函数微积分学

第七章 多元函数微积分学 - 1 - 教学内容（含时间安排） 板书或旁注 第七章 多元函数微分法及应用 第一节 多元函数的基本概念（1 课时） 要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。 重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。 难点：二元函数极限的定义与计算。 在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域． 一．区域 1 ．邻域 定义1 设),(000yxP是 xoy 平面上的一个点， 是某一正数，与点),(000yxP距离 小于  的点),(yxP的全体，称为点0P 的 邻域，记为),(0 PU．即  202000)()(|),(|),(yyxxyxPPPPU 几何解释：),(0 PU是 xoy 平面上以),(000yxP点为中心，0为半径圆的内部点),(yxP的全体． 去心邻域：点0P 的去心邻域 00()|0U PPPP2200( , ) |0()()x yxxyy 2 ．区域 设 E 是平面上的一点集，P 是平面上的一点． 内点：如果存在点 P 的某一邻域)(PU，使得EPU)(，则称 P 为 E 的内点． 开集：如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集． 如 41|),(221yxyxE是开集 边界点：如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点， 也有不属于 E 的点，则称 P 为 E 的边界点． 边界：E 的边界点的全体称为E 的边界． 如 1E 的边界是122 yx和422 yx 第七章 多元函数微积分学 - 2 - 教学内容（含时间安排） 板书或旁注 二．二元函数概念 以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量． 下面举几例子． 例 1 . 圆柱体的体积V 和它的底半径 r ，高 h 之间有关系式 hrV2 这里，当hr,在集合0,0|),(hrhr内取定一对值),(hr时，V 的对应值就随之确定． 1...