函数列的收敛与一致收敛摘要：从收敛和一致收敛的概念出发，讨论数学分析中函数列的收敛与一致收敛的关系，这为如何掌握并进一步讨论函数列的收敛与一致收敛问题提供了方法。关键词：函数列；收敛；一致收敛函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推动，使得这部分内容更易学习并掌握。实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。一、收敛的几个定义实数列的收敛性定义定义 1：设 xn 是实数序列，a 是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数 N，使得当 n>N 时，恒有 xn-a几何上，xn→a 的意思是：数轴上跳动的点 xn 与定点 a 之间的距离，随着 n 的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点 a 的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为 N。但是例如序列：（1+），（1+）2，（1+）3，…，（1+）n，…有极限 ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是 x 的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：定义 2：设函数列 fn（x）每一项 fn（x）及函数 f（x）均在数集 E上有定义，若？坌 x∈E，函数列 fn（x）收敛于 f（x），则称函数列fn（x）在 E 上收敛于 f（x），并称函数 f（x）是函数列 fn（x）的极限函数。定义 2 也可以用“？着-N”语言描述：设函数列 fn（x）每一项fn（x）及函数 f（x）均在数集 E 上有定义，对？坌 x∈E，？坌？着>0 存在正数 N，使得当 n>N 时，总有 fn（x）-f（x）我们发现，函数列 fn（x）的收敛问题不仅要考虑 fn（x）的趋向，还要考虑极限函数 f（x），但是我们也发现取定 x0∈E 时，代入 fn（x）即得实数序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，这时就是实数序列的收敛性问题了。函数列 fn（x）收敛的定义中是对每一个固定的 x∈E，根据给定的？着找 N，一般来说...
