1.1.7柱、锥、台和球体的体积

1.1.7 柱、锥、台和球体的体积背景知识激趣祖暅原理祖暅是祖冲之的儿子，生卒年代不详，是一位博学多才的数学家. 唐代王孝通称他为祖暅，阮元《畴人传》中称他为祖暅之，另字景铄。他继承家学，主要工作是修补编辑他父亲的著述《缀述》，虽然他曾历官员外郎、散骑常侍。祖暅在数学上的主要成就，就是推算球的体积公式. 在方法上根据他父亲提出的原理：“缘幂势既同，则积不容异”。其中幂指截面积，势指高，这一原理也可叙述为：两个等高的立体，若平行于底的截面积相等，则体积相等。这个原理，西方叫卡瓦列里原理，由卡氏于公元 1635 年在《连续不可分量几何》里提出，但这比祖冲之父子晚 1100 多年。因而我们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当。课程学习目标［课程目标］目标重点：棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖暅原理。目标难点：祖暅原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。［学法关键］深刻地理解祖暅原理，并搞清楚怎样以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推出几种常见几何体的体积公式，按照知识形成的过程来理解，认识柱、锥、台和球的体积公式的推导.研习教材重难点研习点 1. 祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如何理解祖暅原理？祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间，条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面，条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.这个原理是非常浅显易懂的，例如取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如下图的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前相等.研习点 2 棱柱和圆柱的体积1．柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积 S 和高用心 爱心 专心 115 号编辑h 的积. 即 V 柱体=S·h.设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，都等于 S，高都等于 h，它们的下底面都在同一平面上. 因为它们的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内.用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都等于 S，根据祖暅原理，它们的体积相等. 由于长方体的体积等于它的底...