章末整合对点讲练一、等差数列与等比数列的基本运算例 1 已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lg a1、lg a2、lg a4成等差数列．又 bn＝，n＝1,2,3，….(1)证明：{bn}为等比数列；(2)如果数列{bn}的前 3 项的和等于，求数列{an}的通项公式 an及数列{bn}的前 n 项和 Tn.点拨 先利用等差数列{an}的首项 a1和公差 d 来表示 bn，再证明{bn}为等比数列．(1)证明 lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4.即 a＝a1a4，设等差数列{an}的公差为 d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得 d2＝a1d. d≠0，∴a1＝d.∴a2n＝a1＋(2n－1)d＝2n·d，∴bn＝＝·.∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列．(2)解 b1＋b2＋b3＝＝，∴d＝3，∴a1＝d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n，bn＝·n.Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝回顾归纳 在等差数列{an}中，通常把首项 a1和公差 d 作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项 b1和公比 q 作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．►变式训练 1 等差数列{an}中，a4＝10，且 a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前 20 项的和 S20.解 设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由 a3，a6，a10成等比数列得 a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得 10d2－10d＝0，解得 d＝0 或 d＝1.当 d＝0 时，S20＝20a4＝200；当 d＝1 时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.二、数列的通项公式和前 n 项和例 2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设 bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前 n 项和．点拨 先利用等差数列的定义判断{bn}是等差数列，借助 bn求出 an是解决第(2)小题的关键．(1)证明 由已知 an＋1＝2an＋2n得 bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又 b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为 1，公差为 1 的等差数列．(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以 2 得：2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1∴Sn＝(n－1)·2n＋1.回顾归纳 递推数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解决．把一般数列问题转化为两种基本数列问题是解决数列的一种常用思想方法．►变式训练 2 已知数列{an}的首项 a1...
