2010高三数学高考《三角函数》专题学案：三角函数的最值

第 9 课时 三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．2．函数与方程 两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．例 1. 求下列函数的最值．⑴ y＝；⑵ y＝2 cos(＋x)＋2cosx；⑶ ．解：(1) y＝＝∴ 当 cosx＝时，ymin= cosx≠1∴ 函数 y 没有最大值。(2) y＝2cos()+2cosx=2cos典型例题基础过关=3cosx－sinx=2cos()∴当 cos()＝－1 时，ymin＝－当 cos()＝1 时，ymax＝(3) 由得 sinx－ycosx＝3y－1∴＝3y－1 (tan＝－y) |sin(x＋)|≤1 ∴|3y－1|≤解得 0≤y≤ 故的值域为[0，]注：此题也可用其几何意义在求值域．变式训练 1：求下列函数的值域：（1）y=;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos+2cosx.解 （1）y===2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当 cosx=1 时取得 ymax=4,但 cosx≠1,∴y＜4，且 ymin=-,当且仅当 cosx=-时取得.故函数值域为.（2）令 t=sinx+cosx,则有 t2=1+2sinxcosx,即 sinxcosx=.有 y=f(t)=t+=.又 t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤.故 y=f(t)= (-≤t≤),从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos. ≤1∴该函数值域为［-2，2］.例 2. 试求函数 y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2 的最大值与最小值，又若呢？解： 令 t＝sinx＋cosx 则 t∈[－，]又 2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1∴y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，显然 ymax＝3＋若 x∈[0，] 则 t∈[1，]y＝(t＋)＋在[1，]单调递增．当 t＝1 即 x＝0 或 x＝时，y 取最小值 3．当 t＝即 x＝时，y 取最大值 3＋．变式训练 2：求函数的最大值和最小值．点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用...