离散型随机变量的期望与方差近一、两年，在各省、市高考题、模拟题中，离散型随机变量的运用有明显加强之势，不得不引起我们足够的重视．归纳起来，我们常见的离散型随机变量分布有以下四类： 一、两点分布 随机变量 X 的分布列为01 则． 例 1 若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为，用随机变量 X 表示 A 在一次试验中发生的次数，求的最大值． 解析：， ，． 当，即时取等号．因此，当时，取得最大值． 二、二项分布 在 n 次独立重复实验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为，其中． 这样的随机变量 X 服从二项分布记作，则． 例 2 从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过 8 个交通岗，假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是，求①这辆汽车首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率．②这辆汽车在途中遇到红灯数 X 的期望与方差． 分析：由于汽车在途中遇到红灯是相互独立的，满足二项分布．由二项分布有关性质不难求解． 解：①这辆汽车在第一、二个交通岗未遇到红灯，而在第三个交通岗遇到， ∴概率． ②，期望，方差． 三、超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件发生的概率为，，其中，且．称分布列01为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布． 此时，（不要求掌握）． 例 3 已知 10 个产品中，有 3 件次品，为了检验其质量，从中以随机的方式抽取 5 件，求在抽取的这 5 件产品中次品数的分布列与期望． 解析：设抽取次品数为 X，显然 X 可取 0，1，2，3 四个数．抽样中恰有个次品的概率为，可得分布列如下：0123． 四、一般分布 当然，离散型随机变量除以上三种分布外，更多的是一般的分布．对于这一类问题，我们求期望与方差有两个关键点：①正确写出随机变量的分布列．②正确应用期望与方差公式进行计算． 例 4 某游戏射击场规定：①每次游戏射击 5 发子弹；② 5 发全部命中奖励 40 元；命中 4 发不奖励，也不必付款；命中 3 发或 3 发以下，应付款 2 元．现有一游客，其命中率为 0.5． （Ⅰ）求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率； （Ⅱ）求该游客在一次游戏中获得奖金（或付出金额）的期望． 解析：（Ⅰ）设 5 发子弹命中发，则由题意有； （Ⅱ）的分布列为012345设游客在一次游戏中获得奖金为 X 元，于是 X 的分布列为040故该游客在一次游戏中获得奖金的期望为元．
