[原创]例谈分类讨论思想方法在解题中的运用 [苏科版]

例谈分类讨论思想方法在解题中的运用在数学解题中，将问题划分为几种情况，使条件具体化、难点分散化，并对每种情况分别讨论、各个击破，最终使整个问题获解，这就是分类讨论．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想方法，同时更是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．由于分类讨论的思想方法具有明显的逻辑性、综合性、探索性，所以历年高考中必考分类讨论型的数学问题，用以考查学生数学思维的条理性和概括性．本文略举数例导析解题过程中分类讨论的思维策略，希望能对同学们的学习有所启示．例 1．已知 ，（1）当时，求证：在内单调递减．（2）当时，求证：在内至少存在一个，使得．思路分析：分类讨论能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易、化繁为简的功效．（1）当时，的对称轴在的右侧，那么在内单调递减．（2）这是一个存在性命题．怎么理解“至少存在一个”呢？其实质是能找到一个这样的，问题就解决了．不妨用最特殊的值去试一试．当时，，与的大小关系如何呢？对进行讨论： （ⅰ）若，即， 命题成立．（ⅱ）若，取，则故不论还是，总存在或使得成立．评注：本题除取外， 还可取那些值呢？留给读者思考，问题很有趣！证明过程简洁，是因为灵活地选取特殊值，并对其进行了“意想不到”的分类讨论！最后借助不等式的放缩法等最基本的技巧来完成解答，充分体现了解题机智．例 2．在△ABC 中，已知=（2，3），=（1，k），且△ABC 的一个内角为直角，求实数 k的值．思路分析：哪一个角为直角，不知道，故本题首先需要进行分类讨论，后利用向量垂直的充要条件列出含有实数 k 的关系式，分别求之．解：①若∠BAC=90°，即，也就是 ，故 2+3k=0，解得 ；② 若∠BCA=90°，即，也就是 ，而=，故，解得 ；③ 若∠ABC=90°，即，也就是 ，而=，故 ，解得 ．综合上面的讨论可知，或或．评注：（1）为什么要分类？因为哪个角为直角不明确，哪个角为直角都有可能，故需要分用心 爱心 专心类．分类要不重复不遗漏；（2）在应用向量垂直的充要条件时，应弄清所要研究的向量及坐标．利用两个向量垂直，其数量积等于 0，可实现形与数之间的相互转换．例 3．设为常数，且． （1）证明：对任意，； （2）假设对所有，求的取值范围.思路分析：（1）如果设 用代入，可解出. 所以是公比为－2，首项为的等比数列. 即 （2）由通项公式 等价于 ……① （i）...