4.5.3 利用坐标计算数量积学习目标重点难点1．能记住在坐标表示的条件下，数量积的计算公式、模及夹角余弦的公式、两向量垂直的条件；2．能够利用坐标运算解决各公式相应的问题.重点：在坐标表示的条件下，数量积、模、夹角、垂直条件等各公式的应用；难点：坐标运算的综合问题；疑点：在坐标表示条件下两向量共线与垂直的条件.设向量 u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，可得(1)坐标表示的数量积的计算公式：u·v ＝ ( x 1， y 1)·( x 2， y 2) ＝ x 1x2＋ y 1y2.(2)坐标计算向量的模的公式：| u | ＝ .(3)坐标计算投影值的公式：( u ) v＝＝(v 不为 0)．(4)坐标计算夹角余弦的公式：cos 〈 u ， v 〉＝＝ (u，v 都不为 0)．(5)坐标表示的垂直条件：u ⊥ v ⇔ u·v ＝ 0 ⇔ x 1x2＋ y 1y2＝ 0 .预习交流 1在坐 标表示条件下，两向量共线与两向量垂直的条件有何区别？提示：对于两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有①a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；②a∥b⇔a·b＝±|a||b|⇔x1y2－x2y1＝0.预习交流 2与向量 a＝(x，y)垂直的所有单位向量怎样表示？提示：(－y，x)和(y，－x)．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、数量积的坐标运算已知 a＝(2,3)，b＝(－1,1)，c＝(0，－4)，求：(1)(a＋b)·(a－2b)；(2)|a＋2b|；(3)(a－b)·c.思路分析：按照平面向量数量积的运算法则进行计算．解：(1) a＋b＝(2,3)＋(－1,1)＝(1,4)，a－2b＝(2,3)－2(－1,1)＝(4,1)，∴(a＋b)·(a－2b)＝(1,4)·(4,1)＝8.(2) a＋2b＝(2,3)＋2(－1,1)＝(0,5)，∴|a＋2b|＝＝5.(3)(a－b)·c＝(3,2)·(0，－4)＝－8.已知向量 a＝(－1,2)，b＝(3,2)．(1)求 a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若 c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．解：(1) a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)．∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.(2) a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)，a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．在进行数量积的坐标运算时，一方面要熟记运算的法则，计算要准确；另一方面还要注意运用运算律，以简化运算过程．二、向量...
