第五章数列第4课时数列的求和第六章(对应学生用书(文)、(理)76~78页)考情分析考点新知理解数列的通项公式;会由数列的前n项和求数列通项公式,及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式.掌握等差数列、等比数列前n项和的公式;数列求和的常用方法:分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等.①掌握求数列通项公式的常用方法.②掌握数列求和的常用方法.1.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项an=________.答案:an=2n-1解析:由已知{an}为等差数列,d=an+1-an=2,∴an=2n-1.2.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an+1=nan(n∈N*),则该数列的通项公式an=________.答案:an=解析:=××…×=.3.(必修5P44习题2(2)改编)(1+2n)=________.答案:441解析:(1+2n)=1+(1+2×1)+(1+2×2)+…+(1+2×20)=21+2×=441.4.(必修5P60复习题8(1)改编)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S4=________.答案:解析:an==-,∴S4=1-+-+-+-=.5.(必修5P51例3改编)数列1,2,3,4,…的前n项和是__________.答案:Sn=+1-解析:Sn=(1+2+3+…+n)+=+=+1-.1.当已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.2.当已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用迭乘法求数列的通项an.3.(1)an=(2)等差数列前n项和Sn=,推导方法:倒序相加法.(3)等比数列前n项和Sn=推导方法:错位相减法.4.常见数列的前n项和:(1)1+2+3+…+n=;(2)2+4+6+…+2n=n(n+1);(3)1+3+5+…+(2n-1)=n2;(4)12+22+32+…+n2=.5.(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导方法.6.常见的拆项公式有:(1)=-;(2)=;(3)=;(4)=(-).题型1求简单数列的通项公式例1求下列数列{an}的通项公式:(1)a1=1,an+1=an+2n+1;(2)a1=1,an+1=2nan.解:(1)an=n2(2)an=2求下列数列{an}的通项公式:(1)a1=1,an+1=2an+1;(2)a1=1,an+1=;(3)a1=2,an+1=a.解:(1)an=2n-1(2)an=(3)an=22n-1题型2分组转化求和例2求下面数列的前n项和:1,3,5,7,…解:Sn=1+3+5+7+…+=[1+3+5+…+(2n-1)]+=+=n2-+1.已知an=(1)求数列{an}的前10项和S10;(2)求数列{an}的前2k项和S2k.解:(1)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)=+=192.(2)由题意知数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6,公差为10的等差数列,k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S2k=[6+16+…+(10k-4)]+(2+22+…+2k)=+=5k2+k+2k+1-2.题型3裂项相消求和例3求下面各数列的前n项和:(1),,,,…(2),,,,…解:(1) an==(-),∴Sn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=.(2) an==1+=1+,∴Sn=n+=.求1+++…+.解: ak=2,∴Sn=.题型4倒序相加求和例4设f(x)=,求f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值.解: f(x)+f(1-x)=,∴原式=.一个等差数列前4项之和为26,最末4项之和为110,所有项之和为187,则它的项数为________.答案:11解析: a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an==34.又Sn==187,∴n=11.题型5错位相减求和例5在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和Sn.解:(1)设{an}公比为q,由题意得q>0,且即解得或(舍),所以数列{an}的通项公式为an=3·3n-1=3n,n∈N.(2)由(1)可得bn=log3an=n,所以anbn=n·3n.所以Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,所以3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1,两式相减得,2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n·3n+1=-(3+32+33+…+3n)...