高考数学总复习第五章 数列第4课时 数列的求和VIP免费

第五章数列第4课时数列的求和第六章(对应学生用书(文)、(理)76～78页)考情分析考点新知理解数列的通项公式；会由数列的前n项和求数列通项公式，及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式．掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等．①掌握求数列通项公式的常用方法.②掌握数列求和的常用方法.1.在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________．答案：an＝2n－1解析：由已知{an}为等差数列，d＝an＋1－an＝2，∴an＝2n－1.2.已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan(n∈N*)，则该数列的通项公式an＝________．答案：an＝解析：＝××…×＝.3.(必修5P44习题2(2)改编)（1+2n）=________．答案：441解析：(1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋2×20)＝21＋2×＝441.4.(必修5P60复习题8(1)改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S4＝________．答案：解析：an＝＝－，∴S4＝1－＋－＋－＋－＝.5.(必修5P51例3改编)数列1，2，3，4，…的前n项和是__________．答案：Sn＝＋1－解析：Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－.1.当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.2.当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项an.3.(1)an＝(2)等差数列前n项和Sn＝，推导方法：倒序相加法．(3)等比数列前n项和Sn＝推导方法：错位相减法．4.常见数列的前n项和：(1)1＋2＋3＋…＋n＝；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(4)12＋22＋32＋…＋n2＝．5.(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．6.常见的拆项公式有：(1)＝－；(2)＝；(3)＝；(4)＝(－).题型1求简单数列的通项公式例1求下列数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1；(2)a1＝1，an＋1＝2nan.解：(1)an＝n2(2)an＝2求下列数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝1，an＋1＝；(3)a1＝2，an＋1＝a.解：(1)an＝2n－1(2)an＝(3)an＝22n－1题型2分组转化求和例2求下面数列的前n项和：1，3，5，7，…解：Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2－＋1.已知an＝(1)求数列{an}的前10项和S10；(2)求数列{an}的前2k项和S2k.解：(1)S10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25)＝＋＝192.(2)由题意知数列{an}的前2k项中，k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴S2k＝[6＋16＋…＋(10k－4)]＋(2＋22＋…＋2k)＝＋＝5k2＋k＋2k＋1－2.题型3裂项相消求和例3求下面各数列的前n项和：(1)，，，，…(2)，，，，…解：(1) an＝＝(－)，∴Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝(1＋－－)＝.(2) an＝＝1＋＝1＋，∴Sn＝n＋＝.求1＋＋＋…＋.解： ak＝2，∴Sn＝.题型4倒序相加求和例4设f(x)＝，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值．解： f(x)＋f(1－x)＝，∴原式＝.一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．答案：11解析： a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝＝34.又Sn＝＝187，∴n＝11.题型5错位相减求和例5在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且即解得或(舍)，所以数列{an}的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)...