江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.2.1 直接证明教案 新人教 A 版选修 2-2教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点： 1．合法的证明过程和应用．2．分析法的证明过程和应用．教学过程：一、预习1．问题 如图，四边形 ABCD 是平行四边形．求证：AB＝CD，BC＝DA．证明 连接AC，因为四边形ABCD是平行形四边形，所以，故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．因为 AC＝CA，所以 △ABC≌△CDA，故 AB＝CD，BC＝DA．思考 以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．二、新课1．定义．直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．12．直接证明的一般形式．本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ？证法 1 对于正数 a，b，有，要证：，只要证：，只要证：，只要证：，因为最后一个不等式成立，故结论成立．上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明．不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．综合法和分析法的推证过程如下： 例 1 如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝DF．已知条件结论综合法结论已知条件分析法2证法一：（综合法）因为 △ACO≌△BDO，所以 CO＝DO， AO＝BO，因为 AE＝BF（已知），所以 EO＝FO，所以 ∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），所以 △EOC≌△FOD，所以 EC＝FD．证法二：（分析法）证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD为此只需证明，为了证明 CO＝DO，只需 △ACO≌△BDO，为了证明 EO＝FO，只需证明 AO＝BO（因为已知 AE＝BF ），也只需 △ACO≌△BDO（已知），因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等，从而 △EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习1．若 a＞0，b＞0，求证：．32．若│a│＜1，│b│＜1，求证：．3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．四、回顾小结分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法 条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．五、作业课本 P87 第 1，2，3，4 题．4
