第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ听课随笔第一节 函数的概念与图像§2.1.3 函数的简单性质—奇偶性(2)【学习导航】 学习要求 1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【精典范例】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例 1：已知奇函数在上是增函数，求证：在上也是增函数．【证明】设， 则， ∵在上是增函数，∴，∵是奇函数，∴，，∴， ∴，∴在上也是增函数．说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．二．利用函数奇偶性求函数解析式：例 2：已知是定义域为的奇函数，当时 ，， 求的解析式，并写出的单调区间．【 解 】 设， 则， 由 已 知 得， ∵是奇函数，∴， ∴当时，； 又是 定 义 域 为的 奇 函 数 ， ∴． 综上所述： 的单调增区间为，单调增区间为和．说明：一般情况下，若要求在区间上的解析式，就在区间上设．例 3：定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围．【解】原不等式化为，∵是奇函数，∴，∴原不等式化为，∵是减函数，∴，∴． ①又的定义域为，∴，解得，②由①和②得实数的取值范围为．追踪训练一1. 设是定义在 R 上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是 （B ） A． D．与 a 的取值无关2. 定 义 在上 的 奇 函 数，则常数 ０ ， ０ ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数 a 的范围。解：定义域是 即 又 是奇函数 在上是增函数 即 解之得 故 a 的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系 若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训练1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （C） 4 2 0 不能确定2. 已知偶函数在上是增函数，若，则必有（ C ） 3. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D） A. 是减函数且有最大值 B. 是减函数且有最小值 C. 是增函数且有最小值 D. 是增函数且有最大值4 已 知 函 数， 且，则 ．5．定义在实数集上的函数 f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶函数。解（1）令，则有 （2）令，则有 这说明是偶函数【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔
