第 9 课时 函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例 1］已知函数 f（x）在其定义域 M 内为减函数，且 f（x）＞0，则 g（x）＝1＋在 M 内为增函数。证明：在定义域 M 内任取 x 1、x 2，且 x 1＜x 2，则： g（x 1）－g（x 2）＝1＋－1－＝－＝ 对于任意 x∈M，有 f（x）＞0 ∴ f（x1）f（x2）＞0 f（x）在其定义域 M 内为减函数， ∴f（x1）＞f（x2）∴g（x 1）－g（x 2）＜0 即 g（x 1）＜g（x 2）∴g（x）在 M 内为增函数［例 2］函数 f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求 f（a2－a＋1）与 f（）的大小关系?解： f（x）在（0，＋∞）上是减函数 a2－a＋1＝（a－）2＋≥＞0∴f（a2－a＋1）≤f（）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.［例 3］已知函数 f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求 a 的取值范围。解：在区间（－2，+∞）内任取 x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，则： f（x 1）－f（x 2）＝－＝ f（x 1）＜f（x 2） ∴（2a－1）（x1－x2）＜0 而 x 1＜x 2∴必须 2a－1＞0 即 a＞［例 4］已知函数 f（x）＝x2－2ax＋a2＋1 在区间（－∞，1）上是减函数，求 a 的取值范围。解： 顶点横坐标为 a，且开口向上 ∴a≥1［例 5］写出函数 f（x）＝的单调区间。解： t＝x2－2x－3≥0 ∴x≤－1 或 x≥3当 x∈（－∞，－1]时：x 递增，t 递减，f（x）递减当 x∈[3，+∞）时：x 递增，t 递增，f（x）递增∴当 x∈（－∞，－1]时，f（x）是减函数；当 x∈[3，+∞）时，f（x）是增函数.［例 6］判断函数 f（x）＝的增减情况。解：设 t＝x2－4x，则 t≥－4 且 t≠0 y＝ 当 t∈[－4，0]时，y＝递减；当 t∈[0，+∞）时，y＝递减.又当 x∈[0，4]时，t∈[－4，0]用心 爱心 专心当 x∈（－∞，0）或 x∈（4，+∞）时，t∈[0，+∞）∴当 x∈（－∞，0）时，x 递增，t 递减，y 递增当 x∈[0，2]时，x 递增，t 递减，y 递增当 x∈（2，4]时，x 递增，t 递增，y 递减当 x∈（4，+∞）时，x 递增，t 递增，y 递减...
