压轴题思维练二1.(2016·“”海南七校联盟联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b,过点P作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l1的斜率为-1,求△PMN的面积.2.已知函数f(x)=aex++lnx,a∈R.(1)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最大值;(2)当a=时,求证:∀x∈(0,+∞),f(x)+≥lnx+2a+2.压轴题思维练二1.解:(1)由条件得+=1,且c2=2b2,所以a2=3b2,解得b2=,a2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意知l1的方程为y=-x-2,则l2的方程为y=x,联立消去y得x2+3x+2=0.因为P(-1,-1),解得M(-2,0),同理解得N(1,1).因为P(-1,-1),所以PM=,PN=2,所以△PMN的面积为××2=2.2.(1)解:依题意,知f(x)=ex++lnx.则f′(x)=ex-+=,易知在[1,e]上,f′(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)max=f(e)=ee++1.(2)证明:要证f(x)+≥lnx+2a+2,x∈(0,+∞),即证aex++-(2a+2)≥0,x∈(0,+∞),令g(x)=aex++-(2a+2),x∈(0,+∞),下证当a=,且x>0时,g(x)≥0恒成立,g′(x)=aex-,令h(x)=aex·x2-(a+1),易知h(x)在(0,+∞)上单调递增.注意到h(1)=ae-a-1=--1=0,故当x∈(0,1)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)单调递增.故g(x)min=g(1)=++1--2=0,故当a=时,∀x∈(0,+∞),g(x)≥0恒成立,即f(x)+≥lnx+2a+2恒成立.
