压轴题思维练三1.(2016·甘肃诊断)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(1,0)为右焦点,过F的直线l交椭圆C于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,直线OM的斜率为,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P为椭圆上一动点,四边形ONPM的面积为S,如果四边形ONPM是平行四边形,且S=λb2,试求出该λ的值.2.(2016·荆、荆、襄、宜四地联考)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=.(1)记F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)在区间(1,2)内有且仅有唯一零点;(2)记F(x)在(1,2)内的零点为x0,m(x)=min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)内有两个不等实根x1,x2(x10,即F(x)在(1,2)上单调递增.又F(1)=-,F(2)=2ln2->0,而F(x)在(1,2)上连续,故根据零点存在性定理有F(x)在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.(2)解:当00,故此时有f(x)1时,F′(x)>0,且存在x0∈(1,2)使得F(x0)=f(x0)-g(x0)=0,故1x0时,f(x)>g(x).因而m(x)=显然当10,因而m(x)单调递增;当x>x0时,m(x)=,m′(x)=<0,因而m(x)单调递减.m(x)=n在(1,+∞)内有两个不等实根x1,x2,则x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞).显然当x2→+∞时,x1+x2>2x0,下面用分析法给出证明.要证:x1+x2>2x0即证x2>2x0-x1>x0,而m(x)在(x0,+∞)上递减,故可证m(x2)0;t∈(1,+∞)时,′(t)<0,故(t)max=,而(t)>0,故0<(t)<,而2x0-x>0,从而-<-<0,因此h′(x)=1+lnx+->1->0,即h(x)单调递增.从而12x0得证.
