高二数学 §3.1.1柯西不等式(1)学案 新人教A版选修4-5

§3.1.1 柯西不等式(1)☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式奎屯王新敞新疆☻知识情景： 1. 定理 1 如果 ,a bR, 那么222abab. 当且仅当ab 时, 等号成立.当0,0ab时，由222abab 基本不等式： 2. 如果 , , ,a b c dR, 那么222abab，222cdcd2222()()abcd 另一方面，有22222()2acbda cb dabcd 问题：2222()()abcd2()acbd ? ? ?☻新知建构： 1. 柯西不等式：若 , , ,a b c dR，则22222()()()abcdacbd. 当且仅当 时, 等号成立. 此即二维形式的柯西不等式. 证法 10.（综合法）222222222222()()abcda ca db cb d 222()()()acbd 当且仅当 时, 等号成立. 证法 20.（构造法） 分析：22222()()()acbdabcd22222[2()]4()()0acbdabcd 而22222[2()]4()()acbdabcd的结构特征 那么， 证：设22222( )()2()f xabxacbd xcd， 22( )()()f xaxcbxd 0 恒成立. ∴ . 得证. 证法 30.（向量法）设向量( , )ma b�，( , )nc d， 则||m �，||n . m n �，且nmnmnm,cos||||，有||||||nmnm. ∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式： 变式 10.若 , , ,a b c dR，则||2222bdacdcba 或bdacdcba2222；变式 20. 若 , , ,a b c dR，则222222()()abcdacbd ； 变式 30. 若1122,,,x y xyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.1 几何意义: 3. 二维柯西不等式的应用： 442233 2 ,()()()1a bababab已知为实数,证明例 *11 ,,b1,42a bR aab设求证例 511023yxx求函数的最大值例 例 4 22231,49,xyxy若求的最小值 并求最小值点 . 2选修 4-5 练习 §3.1.1 柯西不等式(1) 姓名 221.,,10,( )a bRabab若且则的取值范围是 A. -25, 25  .2 10, 2 10B  .10,10C  .5,5D  .222.1,23( )xyxy已知那么的最小值是 562536A. . . .653625BCD 3.2 121______yxx函数的最大值为224,,326,2______x yxyPxy设实数满足则的最大值是22115.1,()()______ababab...