§3.1.2 柯西不等式(2)☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，进一步理解它们的几何意义; 2.明二维柯西不等式及向量形式奎屯王新敞新疆☻知识情景：1. 如果, 那么， 另一方面，有 问题： 2. 柯西不等式的证明： 证法 10.（综合法） 当且仅当 时, 等号成立. 证法 20.（构造法） 设， ∵ 0 恒成立. ∴ . 得证. 证法 30.（向量法）设向量，， 则，. ∵ . ∴ . 得证.3. 柯西不等式的变式： 变式 10. 或；变式 20. 若，则 ； 变式 30. 若，则. 变式 40.（三角形不等式）设为任意实数，则： ☻新知建构： 前面的柯西不等式，称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式. 1.三维形式的柯西不等式：若， 则 . 当且仅当 时, 等号成立. 2. 柯西不等式的一般形式：1 设 为大于 1 的自然数，(1,2,…, )，则：， 其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,…, ).3. 柯西不等式的变式： 变式 1 设 则： . 等号成立当且仅当 变式 2 设 则：. 等号成立当且仅当. 4. 柯西不等式的应用： 例 1 已知均为正数，且，求证：. 例 2 已知，，…，为实数，求证：例 3 设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求的最小值。 例 4 在ABC 中，设其各边长为,b,c,外接圆半径为 R，2 求证：选修 4-5 练习 §3.2.1 柯西不等式(2) 姓名 1、 已知且+b+c=1，求的最大值。 2、已知正数满足 证明 3、已知实数满足， . 试求的最值. 4、设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径， 证明: 5、ΔABC 之三边长为 4，5，6，P 为三角形內部一点 P，P 到三边的距离分別为 x，y，z，3 求 x2+y2+z2的最小值。(提示: ABC 面积=)6、（1）已知是正常数,,， 求证：,指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数(）的最小值，指出取最小值时的值． 7、设 、、为正数且各不相等, 求证： 。8、设, 且 x+2y+3z=36, 求的最小值． 9、若 n 是不小于 2 的正整数，试证：4
