突破点 12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质[核心知识提炼]提炼 1 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系① 在椭圆中：a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ；离心率为 e＝＝；② 在双曲线中：c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ；离心率为 e＝＝.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标① 双 曲 线 － ＝ 1(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的 渐 近 线 方 程 为 y ＝ ±x ； 焦 点 坐 标 F1( － c, 0) ，F2( c, 0) ；② 双 曲 线 － ＝ 1(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的 渐 近 线 方 程 为 y ＝ ±x ， 焦 点 坐 标 F1(0 ， － c ) ，F2(0 ， c ) ． (3)抛物线的焦点坐标与准线方程① 抛物线 y2＝±2px(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为 x＝∓；② 抛物线 x2＝±2py(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为 y＝∓.提炼 2 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则① x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为弦 AB 的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．[高考真题回访]回访 1 圆锥曲线的定义与方程1．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为 y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．－y2＝1 [法一： 双曲线的渐近线方程为 y＝±x，∴可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.法二： 渐近线 y＝x 过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线 y＝x 的下方，在 y＝－x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.]2．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，则 C 的方程为________．＋＝1(x≠－2) [由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以...
