第六节 空间向量及其运算[考纲传真]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.(对应学生用书第 120 页)[基础知识填充]1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为自由向量方向向量A、B 是空间直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的方向向量法向量如果直线 l 垂直于平面 α,那么把直线 l 的方向向量 n 叫作平面 α的法向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:空间两个向量 a,b(b≠0),共线的充要条件是存在实数 λ,使得 a=λb.(2)空间向量基本定理:如果向量 e1,e2,e3是空间三个不共面的向量.a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ1,λ2,λ3,使得 a=λ1e1+λ2e2+λ3e3,其中e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.3.两个向量的数量积及运算律(1)非零向量 a,b 的数量积 a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)空间向量数量积的运算律:① 交换律:a·b=b·a;② 分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;③(λa)·b=λ(a·b).4.空间向量的坐标表示及其应用设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1+ a 2b2+ a 3b3共线a=λb(b≠0,λ∈R)a1= λb 1, a 2= λb 2, a 3=λb3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)a1b1+ a 2b2+ a 3b3= 0 模|a|夹角cos〈a,b〉(a≠0,b≠0)[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( )(2)对任意两个空间向量 a,b,若 a·b=0,则 a⊥b.( )(3)若 a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( )(4)若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图 761 所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 A1C1与 B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是( )图 761A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+cA [BM=BB1+B1M=AA1+(AD-AB)=c+(b-a)=-a+b+c.]3.若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且 λμ≠0),则( )A.c∥dB.c⊥dC.c 不平行于 d,c 也不垂直...