第七节 立体几何中的向量方法[考纲传真] (教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．(对应学生用书第 122 页)[基础知识填充]1．空间位置关系的向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线 l 的方向向量为n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分别为 n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝02.异面直线的夹角已知直线 l1与 l2的方向向量分别为 s1，s2.当 0≤〈s1，s2〉≤时，直线 l1与 l2的夹角等于〈s1，s2〉；当＜〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1与 l2的夹角等于 π－〈s1，s2〉．3．直线与平面的夹角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.4．二面角(1)如图 771(1)，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．图 771(2)如图 771(2)(3)，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与 n2的夹角(或其补角)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( )(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角．( )(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角．( )(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(6)两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√2．(教材改编)设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向量．若α⊥β，则 t＝( )A．3 B．4 C．5 D．6C [ α⊥β，则 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]3．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A．(－1,1,1)B．(1，－1,1)C．D．C [...
