第七节 双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.① 当 2 a <| F 1F2|时，M 点的轨迹是双曲线；② 当 2 a ＝ | F 1F2|时，M 点的轨迹是两条射线；③ 当 2 a >| F 1F2|时，M 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Ry≤－a 或 y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)性质实、虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2构成的△ABF21的周长为 4 a ＋ 2| AB | .(6)双曲线的离心率公式可表示为 e＝.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材改编1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A． B．5 C． D．2A [由题意可知 b＝2a，∴e＝＝＝，故选 A.]2．以椭圆＋＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 (...
