第 4 课时 利用导数研究不等式的恒成立问题策略一：分离参数法 (2020·南昌质检)已知 f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．【解】 (1)因为函数 f(x)＝xln x 的定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)<0，得 ln x＋1<0，解得 00，得 ln x＋1>0，解得 x>，所以 f(x)的增区间是.综上，f(x)的减区间是，增区间是. (2)因为 g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得 2xln x≤3x2＋2ax＋1 恒成立．因为 x>0，所以 a≥ln x－x－在 x∈(0，＋∞)上恒成立．设 h(x)＝ln x－x－(x>0)，则 h′(x)＝－＋＝－.令 h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－(舍)．当 x 变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值所以当 x＝1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)max＝h(1)＝－2，所以若a≥h(x)在 x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a≥h(x)max＝－2，即 a≥－2，故实数 a 的取值范围是[－2，＋∞)．(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将 参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x))对任意的 x∈D 恒成立，再转化为 f(a)≥g(x)max(或 f(a)≤g(x)min)求最值关求函数 g(x)在区间 D 上的最大值(或最小值)问题 (2020·石家庄质量检测)已知函数 f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若 a＝1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当 x>0 时，函数 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．解：(1)若 a＝1，则 f(x)＝xex－2(2x－1)．即 f′(x)＝xex＋ex－4，则 f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为 3x＋y－2＝0.(2)由 f(1)≥0，得 a≥>0，则 f(x)≥0 对任意的 x>0 恒成立可转化为≥对任意的 x>0 恒成立．设函数 F(x)＝(x>0)，则 F′(x)＝－.当 00；当 x>1 时，F′(x)<0，所以函数 F(x)在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，所以 F(x)max＝F(1)＝.于是≥，解得 a≥.故实数 a 的取值...
