第 5 课时 等差数列的应用1.理解等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质.2.能应用等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式等基本概念,理解了累加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位.问题 1:等差数列通项公式的性质(1)若 m+n=p+q,则 ,特别:若 m+n=2p,则 . (2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 . (3)数列{an}、{bn}都是等差数列,公差分别为 d1,d2,则数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列,其中 c、p、q 均为常数,公差分别为 、 、 . 问题 2:等差数列的前 n 项和的简单性质(1)已知{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时:若 a1>0,d<0,且满足则前 n 项和 Sn ; 若 a1<0,d>0,且满足则前 n 项和 Sn . (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,公差为 . (3)在等差数列{an}中,当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇= ;S 偶∶S 奇= ; 当项数为奇数 2n+1 时,S 奇-S 偶= ;S 偶∶S 奇= . 问题 3:等差数列的判定方法(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 为同一常数. (2)等差中项法:验证 2an-1= (n≥3,n∈N+)成立. (3)通项公式法:验证 an= . (4)前 n 项和公式法:验证 Sn= . 问题 4:通项公式,前 n 项和公式的函数意义(1)当 d≠0 时,通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d 是关于 n 的一次函数.1(2)将公式 Sn=na1+变形整理得 Sn= n2+(a1- )n.故当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的一个二次函数,它的图像是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点. (3) = n+(a1- ) 是 关 于 n 的 一 次 函 数 (d≠0) 或 常 数 函 数 (d=0), 即 数 列 { } 是 以 为公差的等差数列. 1.等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a6+a7等于( ).A.21 B.28 C.32 D.352.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于( ).A.13B.26C.52D.1563.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a9+a11=30,那么 S13的值是 . 4.已知{an}为等差数列,若<-1,且它的前 n 项和 Sn有最大值,那么当 Sn取得最小正值时,n等于多少?利用性质若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq解题在等差数列{an}中,若 a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式.2...
