高中数学 从集合大小的定义到数学结构素材VIP专享

从集合大小的定义到数学结构 一、古怪的定义 “自然数和正偶数，哪一种数更多？”（正偶数是指能被 2 整除，大于零的自然数。本文中规定 0 不是自然数。） “自然数和正偶数一样多，因为将 n 和 2n 对应就可以得到自然数到正偶数的一个一一对应。既然每一个不同的自然数都对应而且只对应一个不同的正偶数，所以自然数和正偶数一样多。”许多朋友会这样说，这当然是对的；但是也有许多朋友会觉得奇怪，并非所有的自然数都是正偶数，而所有的正偶数却都是自然数，它们怎么会一样多呢？特别是，自然数的个数应该是正偶数的两倍才对！ 关于用一一对应的方法来判断两个集合之间的大小关系，已经有许多文章谈过了，我只在这里再简单地重复一遍： 给定两个集合 A 和 B， 1)如果存在 A 到 B 的一个单射 f:A→B（也就是说 A 和 B 的一个子集有一一对应），那么我们称 A 的“基数”（或“势”）不大于 B 的“基数”，简称 A 不大于 B，或 A 中元素个数不多于 B中元素； 2)如果存在 A 到 B 的一个一一对应 f:A→B，那么我们称 A 和 B 的“基数”相同，简称 A 和 B一样大，或 A 中元素个数和 B 中元素个数相同； 3)（施罗德-伯恩斯坦定理）如果 A 不大于 B，且 B 不大于 A，那么 A 和 B 一样大。 1由这个定义可以得出一些推论： 1)任何一个无限集都至少和自然数集合一样大； 2)两个集合的并集同这两个集合中比较大的那个一样大，特别地，两个同样大小的集合的并集和它们本身一样大； 3)两个集合的积集同这两个集合中比较大的那个一样大。 但是这种判断集合大小的方法得出的结论，比如说上面所说的“自然数和正偶数一样多”，甚至于“自然数和有理数一样多”，或者“一条直线上的点的个数和一个平面上的点的个数一样多”，总会让不熟悉集合论的人感到很别扭，一个集合的一部分怎么会和自己一样大？欧几里得的第五公理说：“整体大于部分。”在《几何原本》中，公理的地位要高于公设，前者是“放之四海而皆准”的，而后者却只是几何（也就是当时的数学）中的“不证自明”的命题。欧几里得也搞错了？数学家们为什么不按照符合大家直觉的方法来规定集合的大小？他们似乎喜欢故意发明出一些和常识相悖的稀奇古怪的概念和方法，让人上当后自己却在暗地里窃窃偷笑别人的不高明。 这可就冤枉了数学家们，如果有既符合常识和直觉，又严格且有用的关于集合大小的定义，数学家一定是非常乐意接受的...