4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．[基础·初探]1．平摆线(1)如图 447 所示，假设 A 为圆心，圆周上的定点为 P，开始时位于 O 处，圆(半径为 r)在直线上滚动时，点 P 绕圆心做圆周运动，转过 θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段 OB 的长等于的长，即 OB＝rθ.这就是圆周上的定点 P 在圆 A 沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点 P 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．图 447(2)以定直线为 x 轴，点 O 为原点建立直角坐标系，则定点 P(x，y)的参数方程为(θ为参数)．2．圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为 r 的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．[思考·探究]1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外端运动时，半径 OB 相对于 Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然点 P 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问 2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问 3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________摆线 已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．【自主解答】 根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ 为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参...
