高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.4 放缩法知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.3.4 放缩法自主整理 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地_________以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立,这种方法称为___________.高手笔记1. 放 缩 法 多 借 助 于 一 个 或 多 个 中 间 量 进 行 放 大 或 缩 小 , 如 欲 证 A≥B, 需 通 过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或 A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B),再利用传递性,达到证明的目的.2.放缩法的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较;(4)基本不等式与绝对值不等式的基本性质;(5)三角函数的有界性.名师解惑使用放缩法时常用的技巧有哪些?剖析:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,常用的放缩方法有增项、减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩,比如:(a+23 )2+1>(a+23 )2,)1(112kkk, 21k>)1(1kk,12112kkkkk(k>1)等变形.讲练互动【例 1】已知 α∈(0, 2 ),求证:sinnα+cosnα≤1(n≥2 且 n∈N).分析:当 n=2 时,sin2α+cos2α=1,要证不等式成立,只需证 sin2α≥sinnα,cos2α≥cosnα即可.证明:当 n=2 时,sin2α+cos2α=1. α∈(0, 2 ),∴02 时,求证:logn(n-1)logn(n+1)<1.分析:不等式的左边为对数的乘积,可利用基本不等式放大为对数之和证出.证明: n>2,∴logn(n-1)>0,logn(n+1)>0,且 logn(n-1)≠logn(n+1).∴logn(n-1)·logn(n+1)<［2)1(log)1(lognnnn］2=［2)1(log2 nn］2<(2log2nn)2=1.∴当 n>2 时,logn(n-1)logn(n+1)<1 成立.绿色通道 在进行对数之积运算时往往要利用基本不等式放大为对数之和进行运算,对照不等式的右边进行适当放缩.变式训练2.求证:lg9·lg11<1.证明: lg9>0,lg11>0,且 lg9≠lg11,∴lg9·lg11<(21...