高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

一 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)教材整理 1 作差比较法阅读教材 P21～P22例 2，完成下列问题．1．理论依据：① a＞b⇔a － b ＞ 0 ；② a＝b⇔a－b＝0；③ a＜b⇔a － b ＜ 0 .2．定义：要证明 a＞b，转化为证明 a － b ＞ 0 ，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．若 x，y∈R，记 ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则( )A．ω＞u B．ω＜uC．ω≥u D．无法确定C [ ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.]教材整理 2 作商比较法阅读教材 P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．1．理论依据：当 b＞0 时，① a＞b⇔＞ 1 ；② a＜b⇔＜1；③ a＝b⇔＝1.2．定义：证明 a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞ 1 ，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 大小；④下结论．下列命题：① 当 b＞0 时，a＞b⇔＞1；② 当 b＞0 时，a＜b⇔＜1；③ 当 a＞0，b＞0 时，＞1⇔a＞b；④ 当 ab＞0 时，＞1⇔a＞b.其中真命题是( )A．①②③ B．①②④C．④ D．①②③④A [由不等式的性质，①②③正确．当 ab＞0 时(若 b＜0，a＜0)，＞1 与 a＞b 不等价，④错．]作商比较法证明不等式【例 1】 已知 a＞0，b＞0 且 a≠b，求证：aabb＞.[精彩点拨] →→→11．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用 a＞b⇔＞1 证明不等式时，一定注意 b＞0 是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．1．已知 m，n∈R＋，求证：≥.[证明] 因为 m，n∈R＋，则：①当 m>n>0 时，>1，m－n>0，则 ω>1.② 当 m＝n 时，ω＝1.③ 当 n>m>0 时，0<<1，m－n<0，则 ω>1.故对任意的 m，n∈R＋都有 ω≥1.，所以≥.比较法的实际应用【例 2】 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精彩点拨] 设从出发地点至指定地点的路程是 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较 t1，t2的大小就可以了．[自主解答] 设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段路程所用...